极限类题之利用定积分定义

利用导数定义能求极限，利用定积分定义也能求. 定积分的定义是：

所以当我们遇到上式右边的极限形式时，可以考虑转化成定积分的计算. 这个形式有什么特点呢？第一，它是个和式，而且有无限多项（因为当 \lambda\rightarrow0时 n\rightarrow\infty ）；第二，和式的各项都是两部分的乘积，一部分是函数值，一部分是自变量的增量（一般来说，每一项的自变量增量都 \Delta x_{i} 取相等的，这样容易计算，而且这个增量 \Delta x_{i} 是要趋于 0 的；对于前面那一部分的函数值 f\left( \xi_{i} \right) ，其中的 \xi_{i} 是在每一个区间 \left[ x_{i-1}, x_{i-1}+\Delta x_{i}\right] 中任意取的，但为了方便，我们一般有三种取法：取区间的左端点、右端点或中点，但最可能取右端点）.为了方便理解，我们先举一个简单的例子：

这道题最简单的方法是直接求和，里面分子就是个等差数列，你会很轻易地得到答案 \frac{1}{2} . 我们现在用定积分定义做一下. 首先我们应该看看这个式子具不具有刚才说的两个特点. 第一，它是个和式，而且有无限多项，这没问题. 第二，每一项都是自变量增量和函数值的乘积. 事实上，我们如果把 \frac{1}{n^{2}} 拆成 \frac{1}{n}\times\frac{1}{n} , \frac{1}{n^{2}} 拆成 \frac{2}{n}\times\frac{1}{n} ...... \frac{n}{n^{2}} 拆成 \frac{n}{n}\times\frac{1}{n} .这样一来，每一项后面的 \frac{1}{n} ，就可以看作是一个长度为 1 的闭区间被平均分成了n 份后每份的长度，这也就是自变量的增量，如果假设这个区间是 \left[ 0,1 \right] ，也就是整个区间 \left[ 0,1 \right] 被分成了 n 个小区间 \left[ 0,\frac{1}{n} \right],\left[ \frac{1}{n},\frac{2}{n} \right],.....\left[\frac{n-1}{n} ,\frac{n}{n}\right] ,每一个区间的增量都是 \frac{1}{n} ,各个小区间的右端点分别为 \frac{1}{n},\frac{2}{n},....\frac{n}{n} .函数 f\left( x \right)=x 在这些右端点处的函数值恰好也为 \frac{1}{n},\frac{2}{n},....\frac{n}{n} ，所以原极限= \int_{0}^{1}xdx=\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2} .以上展现了寻找被积函数的过程，但我们没有必要每遇到一道题就像上面一样思考一遍，下面介绍一种较为简单的思考方法. 实际上，让你用定积分定义计算的极限，被积区间一般都可以看作 \left[ 0,1 \right] ，看成 \left[ 0,1 \right] 最方便，所以一般需要你分离出一个增量 \frac{1}{n} ，也就是区间 \left[ 0,1 \right] 被分成了 n 个小区间 \left[ 0,\frac{1}{n} \right],\left[ \frac{1}{n},\frac{2}{n} \right],.....\left[\frac{n-1}{n} ,\frac{n}{n}\right] ,剩下的工作就是观察一下：你刚才分离完 \frac{1}{n} 以后剩下的部分，是各区间内哪个点（一般是右端点 \frac{i}{n} ）代进哪个函数所形成的函数值？在这里有一个技巧，当你提出一个 \frac{1}{n} ，可以把剩下的部分整理成一个关于 \frac{i}{n} 的式子，再把所有的 \frac{i}{n} 换成 x ，这就是区间 \left[ 0,1 \right] 上的被积函数了. 当我们找到这么一个被积函数，整个定积分式也就确定下来了，就可以用求积分来代替求极限了.

总结成四步，就是：①写成含有 \Sigma 符号的求和式，对通项提出一个 \frac{1}{n} ；②对提走 \frac{1}{n} 后剩下的部分整理，整理成一个关于 \frac{i}{n} 的式子；③把 \frac{i}{n} 换成 x ，就是被积函数；④计算这个被积函数在 \left[ 0,1 \right] 上的定积分，即为原极限值. 一式以蔽之，即：

下面再举个例子。

这道题用夹逼定理什么的，好像很难做出来吧.

有时，可能无论如何也无法整理成关于 \frac{i}{n} 的式子. 这时说不定可以整理成关于 \frac{i-1}{n} 的式子，或 \frac{2i-1}{2n} 的式子，这也都是可以把 \frac{i-1}{n} 或 \frac{2i-1}{2n} 换成 x 的，即有

这只不过是取了每个小区间的左端点和中点.

还有的时候，式子本身不能直接化成积分和的形式，可以适当放缩，通过夹逼定理，对两边进行定积分求和，不胜枚举。

可见，用定积分求极限是一种技巧性很高的方法，如果被积函数寻找恰当，效率也是很高的.

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