第五章滞止参数与气动函数 – 天弓动力

在气体动力学中，尤其在发动机的气动计算中，经常用到滞止参数、临界参数和气体动力学函数的概念。因此，本章将讨论微扰动的传播规律；引出声速与马赫数的概念，并讨论滞止参数、临界参数、极限速度和气体动力学函数。在此基础上，将前文讨论过的一维定常流动的基本方程用本章所介绍的滞止参数和气动函数来表示，以利于在发动机中的应用。

在气体所占据的空间中，若某点的压强、密度和温度等参数发生了变化，则这种现象被称为气体受到了扰动。造成扰动的根源（如击鼓时鼓膜的振动，说话时声带的振动）叫做扰动源。根据扰动所造成的气体参数变化的大小，把扰动分为微扰动和强扰动。如果气体的压强、密度和温度等参数的变化量与参数原来的数值相比极其微小时，则称其为微扰动（鼓膜和声带的振动所引起的扰动均为微扰动），否则为强扰动。扰动在介质中是以波的形式向四周传播的。

如图5.1（a）所示，用锤击鼓时，会引起鼓膜的振动。当鼓膜向外凸起时，会压缩其邻近的一层空气，使周围静止空气的压强、密度和温度略有增加。这层被压缩的空气因其压强稍大于外层空气的压强，就挤靠近它的较远的一层空气。这层较远的空气受到压缩后，又会压缩更远的一层空气，击鼓这样的一个扰动就会从鼓膜处向四周传播出去。而扰动气体与未受扰动气体的分界面即是扰动波。由于扰动很弱，且空气受到压缩，故称为微弱压缩波。同理，当鼓膜向内凹时，其邻近的空气又会膨胀，压强、密度和温度略微减小。这种微弱膨胀扰动也会从鼓膜处向些周传播出去。只要鼓膜连续振动，就产生一系列的压力升高和降低的微扰动波，不管是压缩或膨胀，只要是微扰动，所产生的微扰动波都是以声速向外传播的。

由5.1.1小节的分析可知，微扰动波在介质中的传播速度，就是声速。声速的大小与介质的可压缩性有非常紧密的联系，因而它是介质的重要属性之一

将上述微扰动波的传播过程用量化的形式表示。鼓膜压缩邻近空气的这一扰动，即所产生的微扰动波相当于活塞在一个半无限长直管中，由于活塞速度从零增加到dV，这一扰动将压缩邻近气体而产生微扰动波。该微扰动波以声速c向右传播，如图5.1（b）所示。

波扫过的气体，压强为p+dp加密度为ρ+dρ，温度为T+ dT，并以微小速度dV向右运动。波前方的气体压强为p，密度为ρ，温度为T，并且气体是静止不动的。而微扰动波是以声速向右传播的。显然，对一个静止的观察者来说，这是一个非定常的一维流动。为了使分析简单起见，选用与扰动波一起运动的相对坐标系。对于位于该坐标系的观察者来说，上述的流动过程就转化为定常的了。这就表明了观察者以声速c向右运动时所看到的这一过程的现象，即扰动波不动，而压强为p，密度为ρ，温度为T的未被扰动的气体以声速c向着扰动波（即由右向左）运动。气体经过扰动波之后，速度降为c-dV，同时压强增大为p+dp，密度增加到ρ+dρ，温度也升高到T+ dT，如图5.1（c）所示。包围扰动波取控制体（即图中虚线），并忽略作用在这个控制体上的黏性力，然后对此控制体沿x方向应用动量方程，则有

-pA+(p+dp)A=ρAc[-（c-dV）-（-c）]

式中，A为直管的横截面面积。经整理后得

 dp=ρcdV                            （a）

对此控制体应用连续方程，则有

ρAc= (ρ+dρ)A(c-dV)

经整理并略去高阶无穷小量后，可得

dV/c=dρ/ρ                      （b）

将式（b）代入式（a），得                          c=dp/dρ                       （5.1）

由气体属性的讨论可知，气体中的声速c大小直接代表了气体的可压缩性的大小。

不难理解，如果活塞以速度dV在管内向左运动，即在管内（活塞右边）产生膨胀波向右运动，同样它的运动速度仍然是声速c。并由式（5.1）决定。也就是说，在相同介质的条件下，微压缩扰动波与微膨胀扰动波的传播速度是一样的。显然，由微压缩扰动波和微膨胀扰动波交替组成的微弱扰动波（例如在空气中的声波）的传播速度也是由式（5.1)决定的。

要想具体计算声速，还必须知道在微扰动传播过程中的压强p和密度ρ之间的关系。因

为在微扰动传播过程中，气体参数变化量都是无限小量。即dp→0，dρ→0和dT→0。若忽略黏性作用，则整个过程接近于可逆的过程。此外，由于扰动传播过程进行得非常迅速，介质来不及和外界交换热量，这就使得此过程接近于绝热过程。所以，可以认为微扰动的传播过程是个等熵过程。对于完全气体来讲，在等熵过程中压强p和密度ρ之间的关系是

p/ρk=常数

对此式取对数并微分，得

\(c=\sqrt{{{\left( \frac{\partial p}{\partial \rho } \right)}_{s}}}=\sqrt{k\frac{p}{\rho }}=\sqrt{kRT}\)                      （5.2）

对于空气，气体常数R=287.06 J /（kg··K），k=1.4，则c=20.05√T（m／s）。对于涡轮喷气发动机使用的燃气，一般取R=287.41 J /（kg·K），k=1.33，则c=19.55√T（m／s）。

从式（5.2）可知，气体中声速的大小与气体的性质和绝对温度有关。气体温度愈高，气体中的声速愈大，则气体的可压缩性就愈小（即dρ/ dp愈小)。对于不可压缩流体来说，密度为常数，即dρ/dp趋近于0，则c=√（dp/dρ）→∞。对任何一个微小的扰动，都会立即传遍到整个流场。可见声速的大小与气体的可压缩性有关。

流体的压缩性与声速有关，但由伯努利方程和微分形式的动量方程可知，气流的速度变化，也影响到气流的密度和压强的变化。因此对流动的气体来讲，气流的压缩性除了与气体中的声速有关外，还与气流的速度大小有关。为了同时考虑这两个因素，需要用气流的马赫数来表示流动气体的压缩性。马赫数用Ma表示，它的定义是

Ma=V/c              （5.3）

即流体质点的运动速度与流体质点当地的声速之比。流场中各点的气体参数不同，马赫数的值也就不同。马赫数是可压缩流动理论中的重要相似参数。因为它除了表征气流的压缩性以外，对于研究气体的高速运动规律以及气体流动问题的计算和分析等方面，均有极其重要的用途。由马赫数的定义式可以看出,\(M{{a}^{2}}=\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{2}{k\left( k-1 \right)}\frac{{{V}^{2}}/2}{{{c}_{v}}T}\)  ，即马赫数的平方是与气流的动能与内能之比成正比的，因此，马赫数的平方可以作为衡量气体宏观运动的动能与分子无规则运动的内能比值大小的一种度量。

气流的可压缩性与马赫数的关系可由欧拉运动微分方程式揭示出来。因为气体在流动过程中，满足下列关系式：

\[-VdV=\frac{dp}{\rho }=\frac{d\rho }{\rho }\frac{dp}{d\rho }\]

将式（5.1 )代入上式，并应用式（5.3），得

\[-M{{a}^{2}}\frac{dV}{V}=\frac{d\rho }{\rho }\]             （5.4）

式中，dV/V和dρ/ρ分别表示气流速度和密度的相对变化量。式（5.4）表明，在绝能等熵流动中，气流速度相对变化量所引起的密度相对变化量与Ma²是成正比，且V与ρ变化方向相反。在绝能等熵流动中，当Ma≤0.3时，比值丨(dρ/ρ)/(dV/V)丨在0.09以下，一般可以不考虑密度的变化。即认为气体是不可压缩的，从而可以使问题简化，当Ma >0.3时，就必须考虑气体的压缩性。

对于不可压流动，由于密度不变（即认为密度是己知的），只需要求出流场中的压强和速度，在无特殊加热和冷却的情况下，可以不考虑能量方程。如果需要知道温度的变化，例如有加热的情况，此时温度、压强和速度存在着相互的耦合关系，就一定要用到能量方程来求解温度场。

对于气体绕物体的流动，当气流速度小于当地声速（即Ma 1)时，称其为超声速气流。当物体上一部分区域的流动为Ma< 1，而其余部分的流动为Ma> 1时，则在该物体上的某点（或线）必定有Ma=1，这种既有亚声速，又有超声速的混合流动叫跨声速流动。跨声速流动兼有亚声速和超声速流动的某些特征，因而使流动更为复杂。

例5.1  飞机在12000m的高空飞行，其速度为1 800 km/h,求该飞机的飞行马赫数。若在发动机尾喷管出口处，燃气流的温度为873K，燃气速度为560 m/s，燃气的比热比k=1.33，气体常数R=287.4 J／（kg·K）。求尾喷管出口处燃气流的声速和马赫数。

解：由国际大气表查得，H=12000m时的声速为295.1 m/ s，因此飞机的飞行马赫数为

Ma=V/c=1800 x 103/3600 x 295.1=1.694

据定义即可算出尾喷管出口的声速和马赫数分别为

c=√（kRT）= 19.55√873=577 m/s

Ma=V/c=560/577.6=0.97

1.滞止状态与滞止参数（或称总参数）

在气体动力学中，为了计算方便，引入了滞止参数的概念。滞止参数又叫总参数，而一般流动中一点处的流体压强、温度与密度又叫静参数。这里的静参数是指相对于测量仪器静止时所测得的参数。气流从某一状态绝能等熵地滞止到速度为零的状态称为滞止状态，滞止状态下的气流参数称为滞止参数，用上标“*”表示。在实际中，由于滞止参数便于测量，因而在气动计算中得到了广泛的应用。

滞止状态是一种假想的参考状态（也可以是真实状态），在实际流动中，气流每一个状态都有相应的滞止状态，因而每一点都有相应的滞止参数。因此，滞止参数是点函数。在实际流动中，从一点到另一点的滞止参数可能不同。一般滞止参数的变化与实际流动中气体与外界的热交换和功交换以及耗散（摩擦即是一种耗散）等因素有关。

由于滞止参数是人为引入的参考参数，其定义与所研究的实际流动过程无关。但滞止参数可以是流场中实际存在的参数，如飞行器飞行时驻点处的参数和高压容器中气体的参数，高速风洞前的储气罐中的气体参数等。

2.滞止焓和滞止温度

根据一维定常绝能流动的能量方程

 \[h+\frac{{{V}^{2}}}{2}={{h}_{1}}+\frac{V_{1}^{2}}{2}\]

可知，在绝能流动中，当速度减小时，气流的（静）焓h将会增加。如果把气流由速度V1绝能地滞止到零（V1=0），此时所对应的焓值（h1）就称为滞止焓，用h*表示，则

\({{h}^{*}}=h+\frac{{{V}^{2}}}{2}\)        （5.5）

此式只要求绝能，不要求等熵，因此式（5.5）既可适用于可逆过程也适用于不可逆过程。滞止焓也称为气流的总焓。式（5.5）中的h称为静焓。静焓与气流动能之和，代表气流所具有的总能量的大小（即总焓)。

对于完全气体，h=cpT，则有

\[{{T}^{*}}=T+\frac{{{V}^{2}}}{2{{c}_{p}}}\]           （5.6）

式中，T*称为气流的滞止温度或称总温。它是把气流速度绝能滞止到零时的温度，它也反映气流总能量的大小，而T称为静温。

因为\({{c}_{p}}=\frac{k}{k-1}R\)，而\(M{{a}^{2}}=\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{V}^{2}}}{kRT}\), 代入式（5.6），得

\[{{T}^{*}}=T\left( 1+\frac{k-1}{2}M{{a}^{2}} \right)\]

或                \(\frac{{{T}^{*}}}{T}=1+\frac{k-1}{2}M{{a}^{2}}\)               （5.7）

由式（5.7）可见，总温与静温之比取决于气流的Ma。当Ma很小时，T*/ T接近于1，气流Ma 越大，则T*与T差别就越大。例如，当Ma=0.3时，k=1.4，则由式（5.7）可得

T*/T=1.018

可见，当Ma≤0. 3时，T *与T差别不超过2％。式（5.7）中三个参数T*，T和Ma中己知任何两个，就可用式（5.7）求出第三个。

从式（5.6）可以看出，要想测出以速度V运动的气体静温T，必须使温度计与气流没有相对速度，此时温度计所指示的温度即为气流的静温。显然，这是不容易办到的。实际中所测得的温度都接近于气流的总温。例如在实验室中，测温计是固定在气流通道壳体上的，所以这时测温计所显示的温度是气流的总温（不计测温探头的热传导及黏性的影响）。

利用T—s图可以清楚地把滞止状态和实际状态表示出来。图5.2中点1代表气流被滞止之前的状态，即实际状态，其静温为T1，速度为V1，静压强为p1。根据滞止参数的定义，气流滞止前后的状态位于一条等熵线上。因此图中点1*代表气流的滞止状态，其温度为T*1，压强为p*1。其线段1一1*的长度应为诟V²1/（2cp）。

3.用滞止焓和滞止温度表示能量方程

引用总温的概念后，气流的能量方程式（3.76）可以表示为

\[q-{{\omega }_{s}}=\left( {{h}_{2}}+\frac{V_{2}^{2}}{2} \right)-\left( {{h}_{1}}+\frac{V_{1}^{2}}{2} \right)=h_{2}^{*}-h_{1}^{*}={{c}_{p}}\left( T_{2}^{*}-T_{1}^{*} \right)\]                （5.8a）

即加给气流的热量和机械功用以增大气流的总焓。当气体作绝能流动时，能量方程式则为

\[h_{2}^{*}=h_{1}^{*}\]            （5.8b）

对于完全气体有

\[T_{2}^{*}=T_{1}^{*}\]               （5.8c）

对于作绝能流动的气体，气流的总焓（或总温）保持不变。这是绝能流动的一个基本性质。

对于燃烧室内的流动，能量方程式可写成

\[q=h_{2}^{*}-h_{1}^{*}={{c}_{p}}\left( T_{2}^{*}-T_{1}^{*} \right)\]            （5.8d）

即加给气流的热量用以增大气流的总焓。

对于压气机（ωs 0）内的流动，能量方程式可写成

\[-{{\omega }_{s}}=h_{2}^{*}-h_{1}^{*}={{c}_{p}}\left( T_{2}^{*}-T_{1}^{*} \right)\]             （5.8e）

即加给气流的机械功用以增大气流的总焓，或气流的总焓降低转变成对外做的机械功。

例5.2  某压气机在地面试验时，测得出口气流总温为T2*=310 K，空气流量为qm=50 kg／s，求带动压气机所需要的功率。设空气的比定压热容cp=1 004 J/(kg • K)。

解：对压气机，q=0，则

\[-{{\omega }_{s}}={{c}_{p}}\left( T_{2}^{*}-T_{1}^{*} \right)\]

压气机在地面试验时，空气由静止状态逐渐加速吸入压气机，在这个过程中，气流是绝能的，所以总温不变，即在压气机进口截面上空气的总温T1*应等于静止空气的温度。由国际标准大气表查得，地面大气的温度为288 K，故压气机进囗气流总温为

T1*=288 K

所以                      \({{\omega }_{s}}={{c}_{p}}\left( T_{1}^{*}-T_{2}^{*} \right)=1004\left( 288-310 \right)=-22.09kJ/kg\)

所求得的机械功ωs为负值，表明是外界对气体做功，带动压气机所需要的功率为

\[N={{q}_{m}}{{\omega }_{s}}=50\times 22.09=1104.5kW\]

对应于气流滞止状态的声速，称为滞止声速，以符号c*表示，显然

\[{{c}^{*}}=\sqrt{kR{{T}^{*}}}\]            （5.9）

在绝能流动中，c*是一个常数，它也常被用来作为一个参考速度。

4.滞止压强和滞止密度

将气流速度绝能等熵地滞止到零时的压强和密度就称为滞止压强和滞止密度，分别用p*和ρ*表示。对于完全气体，由等熵关系式得

\[\frac{{{p}^{*}}}{p}={{\left( \frac{{{T}^{*}}}{T} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}\]

将式（5.7）代入上式，得

\[\frac{{{p}^{*}}}{p}={{\left( 1+\frac{k-1}{2}M{{a}^{2}} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}\]             （5.10）

由式（5.7）、式（5.10）和完全气体的状态方程式可以得到滞止密度ρ*、静密度ρ和Ma之间的关系。将完全气体状态方程式分别用于气流滞止前后的状态可得

\[\begin{align}& {{\rho }^{*}}=\frac{{{p}^{*}}}{R{{T}^{*}}} \\& \rho =\frac{p}{RT} \\\end{align}\]

两式相除，则得

\[\frac{{{\rho }^{*}}}{\rho }=\frac{{{p}^{*}}}{p}\frac{T}{{{T}^{*}}}={{\left( 1+\frac{k-1}{2}M{{a}^{2}} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}\]                （5.11）

式（5.7）、式（5.10）的和式（5.1 1）给出了滞止参数与静参数之间的关系。可以看出，如果给定了流场中任一点的气流滞止温度T*、滞止压强p*、滞止密度ρ*和马赫数Ma，那么就可由式（5.7）、式（5.10）和式（5.11)三式，分别算出该点的气流温度T、压强p和密度ρ并进一步计算出速度V。反之，也可以通过某点气流的静参数确定其总参数。

应该指出，在气体动力学中引进滞止状态是个参考状态，它是假想地把一点处的气流绝能等熵地流入一个无限大的储气箱内，使其速度滞止到零时的箱内气体状态。在流场内每一点都有一个当地的滞止状态，因此，在任意流动过程中的每一点都有确定的滞止参数的数值，即滞止参数是点函数。在实际流动中，气体与外界有能量交换和黏性耗散时，流场中各点的滞止参数也是可以变化的。

1.总压的物理意义

在流体动力学中，总压是一个非常重要的物理量，它代表了气流做功能力的大小。下面通过具休例子来说明这个问题。图5.3表示两股气流分别在收缩形管道内绝能等熵加速流动。在管道入口，气流的总温相等，即T1*=T1*′，也就是说，两股气流的总能量是一样的，但两股气流的总压不等，p1*>p1*′。根据伯努利方程式，气体在管道内作加速流动，必定膨胀降压。如果两股气流在各自管道的出口处的压强相等，p2=p2′，问在上述条件下，管道出口流速V2和 V2′哪个大？

可以用T一s图来分析这个问題。图5.3中点1*和1*′分别代表两个管道进口气流的滞止状态，T1*=T1*′，p1*>p1*′,故点1*与1*’在同一水平线上，而点1*’位于点1*的右方。点2 和2′分别表示两个管道出囗的气流状态，因为两管出口压强相等，故点2和2′位于同一条压强线上。由图可以看出，T2′必高于T2。由能量方程式

\[\begin{align}& {{c}_{p}}T_{1}^{*}={{c}_{p}}{{T}_{2}}+\frac{V_{2}^{2}}{2} \\& {{c}_{p}}T{{_{1}^{*}}^{\prime }}={{c}_{p}}{{T}_{2}}^{\prime }+\frac{{{V}^{\prime}}_{2}^{2}}{2} \\\end{align}\]

比较两式，显然V2＞V2′这就是说，在其他条件相同时，总压高的气流可以在管道出囗得到更大的流速。从而有更大的动能。管道出口气流的动能可以用来做功（如可用来推动涡轮做功），故出口速度大则意味着气流有较大的做功能力。

通过此例，可以看出，尽管两股气流有同样的总能量，但两者的做功能力却不相同，总压越高，做功能力也越大。如果保持流动过程中气流的总温不变，而进口总压降低到和出口压强p2一样时，那么气流就不可能膨胀降压而加速了。这样的气流虽有同样的总温，但由于总压过低，己失去了做功能力。所以，我们可以用气流的总压的高低来代表气流做功能力的大小。从热能转变成功的方面看，当然希望气流有更大的做功能力。气流做功能力强，就是说气流可以把更多的热能转变成为机械功。为此在发动机里需要有压气机来提高气流的总压，以提高气流的做功能力，改善热能转变为功的有效程度。因此气流的总压也可看做气流能量可利用程度的度量。

2.影响总压的因素

影响总压变化的因素有黏性耗散、轴功与加热量。

分析气流在图5.4所示的管道内作无摩擦的理想绝能流动。两个截面上气流参数可用 T一s图上点1，2表示（即1一2过程为等熵流动），把1和2两个截面上的气流参数分别绝能等熵滞止，则得到1*和2*两点。因为T1*=T2*，则1*和2*两点必重合，即气流作理想绝能流动，气体的滞止参数不变，因而p1*=p2*。这是绝能等熵流动的重要性质。

若气流在管道内作绝能不等熵（有摩擦等不可逆因素）流动，则管道出口截面2的气流参数可用图5.4中的点2f来表示，把点2f的的参数绝能等熵滞止，便得到2f*点。因为T2f*=T1*，点2f*必落在点1*之右方，所以p1*>p2f*。可见气体作绝能不等熵流动时，总压必下降。总之，绝能流动中总压的变化规律可表示为

P1*≥p2*              （5.12）

当流动为绝能等熵时取等号，绝能不等熵时取大于号。

由以上分析可知耗散及不可逆因素是影响总压的重要因素之一。

对于只存在耗散的绝能流动有p2*