玩数系列

“⊥”这一符号想必大家一定是“了解至深”。从小学到高中数学，从平面到空间、几何背景由直线到曲线，在几何这一领域，一个垂直刻画了不光是90°直角、连通“勾股定理”甚至连接了线与圆，或者一种空间上的关系，但⊥真的就只有这一层含义（定义）吗，既然有此文那么答案一定是否定的。

几何意义上的垂直在本文没有什么讨论的必要，暂且不讨论

我们由浅至深开始，如果你有高中的学识话想必在读到这里之前就想到了向量的点乘运算。向量有方向有大小，无论是物理里面还是数学，向量都是我们解开迷题的一个很巧妙、使用的工具。

我们规定空间向量：

若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）

则 a·b＝0⇔a⊥b

或者说 ⇔x1y1+x2y2+z1z2＝0

那么我们现在先扩大一下维度：

有a＝（s1，s2，s3，s4……sn）

b＝（s'1，s'2，s'3，s'4……s'n）

规定：

a⊥b⇔a·b＝0

⇔s1s'1+s2s'2+s3s'3+s4s'4+……+sns'n＝0

这样我们通过“坐标”将几何图形代数化成向量，再通过点乘运算将“⊥”在数字（向量）上有了新的意义：a与b相互垂直或准确而言a与b点乘为零。

首先对于素数的定义为

是的，这就是小学学的最大公约数、最小公倍数的那些东西，当然既然本文要说的是“垂直”这里肯定就不光是说这些了~

我们继续，对于任意一个数O，对其进行因式分解可以表示为：

O＝（p1^a1）×（p2^a2）×（p3^a3）×……×（pt^an）

其中a1、a2、a3、……、an为可能相等的正整数，并规定p1、p2、p3、……、pt为互不相等的素数。

很明显这样对于数的定义明显很冗余，参考对于向量与坐标的对应，就像把一个正整数“基底分解”一样，将每一个括号里的“a”化成具体的数，将素数p按照默认从小到大的顺序从而简化，我们得到素数指数标记法

例如

1＝（0，0，0……）

2＝（1，0，0……）

3＝（0，1，0……）

4＝（2，0，0……）

……

若有：

p＝（a1，a2，……，an）

q＝（a1'，a2'，……，an'）

则有：

p×q＝（a1＋a1'，a2+a2'，……，an+an'）

p+q读者自证不难，略（bushi）

其实可以看出来，这种运算对应的两边关系不太对等，所以我们不妨人为规定：

对于除点乘外所有运算“※”都有：

p※q＝（a1※a1'，a2※a2'，……，an※an'），其属于阿尔贝群，即满足交换、结合律。

对于点乘我们类比向量：

p·q＝a1×a1'+a2×a2'+……+an×an'

也就是说，p·q＝0时正好等价于两自然数互素！而且和向量简直如出一辙。

故我们不妨定义一下：

若p·q＝0即为p与q互素，记“p⊥q”

没错，“⊥”再一次出现了，这时候它不是代表着位置垂直，也不是向量垂直，而是内涵着两个自然数相互垂直！其代表了两个自然数互素。

数学很多来源于人为的规定，在不同领域一个符号、一种象征往往不是一成不变的；数学追求至简，他以最简便的符号代替一长串的内容；在人们产生歧义分支时，一个硬性的规定便是化解干戈的最佳办法……

所以一个“⊥”，便能看出数学的简、通便性以及巧用符号的奥妙，其实同理而言我们还可以根据这样有更多的定义，把对象转换成矩阵、集合、数列、级数等等，这样⊥符号所代表的便远不止于此了，他有了更为鲜活的意义。

数学果真是如此的奥妙与神奇呢~