Unity 点乘（Dot）、叉乘（Cross）判断移动方向、朝向等向量问题

项目中常会用到 1.物体移动，追踪，判断两物体移动方向是否相同 2.两物体移动方向夹角 3.物体A 朝物体B 顺时针方向还是逆时针方向移动 4.物体 A 在 物体 B 的前后左右方向

下面通过点乘（Dot）、叉乘（Cross）， 得到上面的需求结果。

向量点乘（Dot Product）的结果是点积，又称数量积或标量积(Scalar Product),结果是一个数值。 向量有两个属性：大小和方向，点乘结果是标量 下面 向量以黑体加粗表示 向量 a = (x1, y1, z1) 向量 b = (x2, y2, z2) a 与 b 的夹角为 θ

向量点乘公式：对两个向量对应位置上的值相乘再相加 a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2

从几何角度看 点乘的结果表示向量a 在向量b 上的投影长度 与 向量b模的乘积。（下面使用 |a| 表示向量的模） 向量a 在向量b 上的投影长度 等于 |a|cosθ 所以 a · b = |a||b|cosθ 当点积 > 0,表示两个向量夹角θ < 90 度 当点积 = 0,表示两个向量夹角θ = 90 度 当点积 < 0,表示两个向量夹角θ > 90 度

通过反余弦函数 Acos 可以求夹角 θ 的角度，取值范围 [0, 180)

叉乘 (Cross Product) 又称向量积 a x b = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2) 可以看到向量叉乘的结果是一个向量，既有大小，也有方向，叉乘符合右手定则 向量叉乘不满足交换律。事实上，它满足反交换律 axb = -(bxa)

叉乘的运算优先级高于点乘，点乘的运算高于加减运算 a·bxc = a·(bxc),因为点乘返回一个标量，标量和向量间不能叉乘，所以 (a·b)xc 没有意义，运算a·(bxc) 称作三重积

几何意义： 叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量 上图中向量a 和向量b 在一个平面上，向量c 垂直该平面，向量c 垂直于a和b 向量c 的长度 等于 向量a、向量b 模与夹角 sin值的积如下 axb = |a||b|sinθ

叉乘的长度与向量夹角的sin值有关 可以看出 |axb| 也等于以a和b为两边的平行四边形面积 由经典几何知识可知平行四边形的面积是 **|b|**h,即底和高的乘积 h = |a|sinθ |b|h = |b|(|a|sinθ) |b|h = |a||b|sinθ

如果 向量a、向量b 平行或任意一个为 0(零向量：长度为0的向量)，则 axb=0。 叉乘对零向量的解释为，它平行于任意其他向量。注意这和点乘的解释是不同的，点乘的解释是零向量和任意其他向量垂直。(当然，定义零向量平行或垂直于任意向量都是不对的，因为零向量没有方向)

右手定则 向量叉乘的结果是垂直于两个向量组成平面的一个有大小、有方向的向量 那么垂直于平面的向量有两个，如何确认叉乘结果向量的朝向呢，如下图 首先看左手坐标系和右手坐标系 分别伸出左手和右手，握住无名指和小指，伸直大拇指、食指、中指，令这大拇指、食指、中指互成 90度，构建成一个三维坐标系，规定 大拇指方向为 x 轴正方向 食指方向为 y 轴正方向 食指方向为 x 轴正方向 向量叉乘的结果满足右手定则：所以叉乘结果是建立在右手坐标系下的。 可以看到左手坐标系和右手坐标系是不同的，当两个坐标系 X轴和Y轴对应重合的时候，两个坐标系的 Z 轴指向是相反的。 如 a = (1, 0, 0) b = (0, 1, 0) axb = c = (0, 0, 1) 向量c(0, 0, 1)在左手坐标系和右手坐标系中的的方向是不同的。

那么如何在左手坐标系、右手坐标系中判断两个向量的叉乘朝向呢？

在左手坐标系和右手坐标系中 分别伸出左手和右手，伸直五指，令大拇指垂直另外四指，然后握住四指，如下图可以看到 在左手坐标系中四根手指的旋转方向是顺时针的，所以在左手坐标系中，如果向量a和向量b呈顺时针，那么叉乘结果c 指向大拇指方向，如果呈逆时针，则c指向大拇指的反方向

在右手坐标戏中四根手指的旋转方向是逆时针的，所以在右手坐标系中，如果向量a和向量b呈逆时针，那么叉乘结果c指向大拇指方向，如果呈顺时针，则c指向大拇指的反方向

探测顺时针还是逆时针时，必须让a的头与b的尾相接 上面通过点乘已经求出了两个向量的夹角θ 的值，但是这个角度范围是[0, 180)，是有缺失的，理论上夹角θ 值应该是[0, 360) 或者 [-180, 180]

规定在左手坐标系和右手坐标系中 从向量a到向量b的角度记为 θ 从向量b到向量a的角度记为 -θ， 是互为负数的

在左手坐标系中 向量a到向量b是顺时针方向 θ >= 0 向量a到向量b是逆时针方向 θ < 0

在右手坐标系中 向量a到向量b是逆时针方向 θ >= 0 向量a到向量b是顺时针方向 θ < 0

如何判断向量a 到向量b是顺时针还是逆时针？ 向量叉乘公式如下 c = a x b = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2) 计算向量c在坐标轴正方向 normal = (1, 1, 1).normalized 单位向量上的投影长度

令 value = c· normal = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2) · (1, 1, 1).normalized

在右手坐标系中 当 value > 0 时，向量a到向量b是逆时针方向， θ 取值范围是 [0, 180) 当 value = 0 时，向量a 与向量b 平行共线， θ 值是 0 当 value < 0 时，向量a到向量b 是顺时针方向， θ 取值范围是 [0, -180)

在左手坐标系中(Unity 使用的是左手坐标系） 当 value > 0 时，向量a到向量b是顺时针方向， θ 取值范围是 [0, 180), 当 value = 0 时，向量a 与向量b 平行共线， θ 值是 0 当 value < 0 时，向量a到向量b是逆时针方向， θ 取值范围是 [0, -180),