10.1.3 古典概型

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对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件\(A\)的概率用\(P(A)\)表示. 【例】 掷一个硬币，事件\(A\)为硬币出现的是正面，则\(P(A)=\dfrac{1}{2}\).  

（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 满足以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型.

【例1】 “在\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中取\(2\)个数，其差为\(1\)概率”属于古典概型，因为试验的结果有限，每种结果发生的可能性相等； 【例2】 “在区间\([1，5]\)中取\(2\)个数，其差为\(1\)概率”不属于古典概型，因为试验的结果有无限种可能； 【例3】 “贵哥投篮中与否”不属于古典概型，因为中与不中的可能性不相等.  

(1) 古典概型概率 一般地，设试验\(E\)是古典概型，样本空间\(Ω\)包含\(n\)个样本点，事件\(A\)包含其中的\(k\)个样本点，则定义事件\(A\)的概率

其中\(n(A)\)和\(n(Ω)\)分别表示事件\(A\)和样本空间\(Ω\)包含的样本点个数. 【例】 掷一个骰子，事件\(A=\)“点数为奇数”，则\(n(Ω)=6\)，\(n(A)=3\)， \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).  

(2) 求解古典概型问题的一般思路 ① 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）； ② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性； ③ 计算样本点总个数及事件\(A\)包含的样本点个数，求出事件\(A\)的概率.  

【典题1】 下列概率模型中，古典概型的个数为(　　) ①从区间\([1，10]\)内任取一个数，求取到\(1\)的概率； ②从\(1\)，\(2\)，…，\(9\)，\(10\)中任取一个整数，求取到\(1\)的概率； ③向正方形\(ABCD\)内任意投一点\(P\)，求点\(P\)刚好与点\(A\)重合的概率； ④抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为\(3\)的概率．   A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\) 解析 古典概型满足两个条件：①随机实验所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的． 对于①，从区间\([1，10]\)内任取一个数，有无数种取法， 不满足古典概型事件的有限性，故①不是古典概型； 对于②，从\(1\)，\(2\)，…，\(9\)，\(10\)中任取一个整数，求取到\(1\)的概率， 满足古典概型的两个条件，故②是古典概型； 对于③，向正方形\(ABCD\)内任意投一点\(P\)，有无数种投法， 不满足古典概型事件的有限性，故③不是古典概型； 对于④，抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为\(3\)的概率， 不满足等可能性，故④不是古典概型． 故选：\(A\)． 点拨 古典概型要满足有限性和等可能性.  

1.下列是古典概型的个数有(　　) ①已知\(1≤x≤9\)且\(x\in Z\)，从\(x\)中任取一个数，则满足\(20\)，此时\(k=\dfrac{1}{2}\)，\(2\)，有\(2\)个， 共有\(5\)个， 则对应的概率\(P=\dfrac{5}{9}\)， 故选：\(D\)．

答案 \(C\) 解析 根据题意，事件\(A\cup B\)表示“两个点数之和等于\(8\)或至少有一颗骰子的点数为\(5\)”， 又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数，则基本事件总数为\(36\)种， 事件\(A\cup B\)包含的基本事件为：\((2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，\)\((5，1)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(1，5)，(2，5)，(4，5)\)，\((6，5)，(5，5)\)共\(14\)种， 则事件\(A\cup B\)的概率为\(\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}\)， 故选：\(C\)．

答案 \(D\) 解析 三位数的回文数为\(ABA\)， \(A\)共有\(1\)到\(9\)共\(9\)种可能，即\(1B1、2B2、3B3\)、… \(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A、A1A、A2A、A3A\)、… 共有\(9×10=90\)个， 其中偶数为\(A\)是偶数，共\(4\)种可能，即\(2B2\)，\(4B4\)，\(6B6\)，\(8B8\)， \(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A、A1A、A2A、A3A\)、… 其有\(4×10=40\)个， \(\therefore\)三位数的回文数中，偶数的概率 \(P=\dfrac{40}{90}=\dfrac{4}{9}\)； 故选：\(D\)．

答案 (1) 略；(2)\(\dfrac{8}{15}\) 解析 (1)这个试验的样本空间： \(Ω=\{(A_1，A_2 )，(A_1，B_1 )，(A_1，B_2 )，(A_1，B_3 )，(A_1，B_4 )，(A_2，B_1 )，\)\((A_2，B_2 )，(A_2，B_3 )， (A_2，B_4 )，(B_1，B_2 )，(B_1，B_3 )，(B_1，B_4 )，\)\((B_2，B_3 )，(B_2，B_4 )，(B_3，B_4 )\}\)， 共\(15\)个样本点． (2)因为(1)中的\(15\)个样本点出现的可能性是相等的， 事件“\(2\)个球颜色不同”包含的样本点有\((A_1，B_1 )，(A_1，B_2 )，(A_1，B_3 )，(A_1，B_4 )\)， \((A_2，B_1 )，(A_2，B_2 )，(A_2，B_3 )，(A_2，B_4 )\)，共\(8\)个， 故所求事件的概率\(P=\dfrac{8}{15}\)．

答案 (1) \(50\)；(2) \(10\)；(3)\(\dfrac{4}{9}\) 解析 (1)由题意可得 \(\dfrac{x}{500}=0.1\)，解得\(x=50\)； (2)可得偏胖的学生共\(y+z=500-(50+120+50+180)=100\)， \(\therefore\)由分层抽样可知偏胖的学生应抽取 \(100 \times \dfrac{50}{500}=10\)人； (3)\(\because y+z=100\)，\(y≥46\)，\(z≥46\)， \(\therefore\)偏胖学生中男、女生人数为\((46，54)，(47，53)，(48，52)\)， \((49，51)，(50，50)，(51，49)，(52，48)，(53，47)，(54，46)\)共\(9\)种情形， 其中满足男生人数大于女生人数的为\((51，49)，(52，48)，(53，47)，(54，46)\)共\(4\)种， \(\therefore\)所求概率\(P=\dfrac{4}{9}\).

答案 (1)样本空间略，\(P(A)=\dfrac{1}{4}\)，\(P(B)=\dfrac{1}{4}\)； (2) \(A\)与\(B\)不是互斥事件， \(P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}\)； (3) \(C={(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}\) 解析 (1)从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)这四个数字中，不放回地取两次， 样本空间\(Ω=\{(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，2)，(1，3)，\)\((2，0)，(2，1)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)\}\)， 所以\(n(Ω)=12\)． 因为事件\(A=\)“第一次取出的数字是\(1\)”， 所以\(A=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)\}\)， 所以\(n(A)=3\)． 所以 \(P(A)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\)． 因为\(B=\)“第二次取出的数字是\(2\)”， 所以\(B=\{(0，2)，(1，2)，(3，2)\}\)， 所以\(n(B)=3\)． 所以 \(P(B)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\)． (2)因为\(A∩B=\{(1，2)\}\)，所以\(A\)与\(B\)不是互斥事件． 因为\(A\cup B=\)“第一次取出的数字是\(1\)”或“第二次取出的数字是\(2\)”， 所以\(A\cup B=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(0，2)，(3，2)\}\)， 所以\(n(A\cup B)=5\)， 所以 \(P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}\)． (3)\(C=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，3)\}\)．  

1.下列古典概型的说法中正确的个数是(　　) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③基本事件的总数为\(n\)，随机事件\(A\)包含\(k\)个基本事件，则\(P(A)=\dfrac{k}{n}\)； ④每个基本事件出现的可能性相等．   A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)  

2.下列试验是古典概型的是(　　)   A．口袋中有\(2\)个白球和\(3\)个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}   B．在区间\([-1，5]\)上任取一个实数\(x\)，使\(x^2-3x+2>0\)   C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面   D．某人射击中靶或不中靶  

3.掷一枚均匀的硬币两次，事件\(M=\{\)一次正面向上，一次反面向上\(\}\)；事件\(N=\{\)至少一次正面向上 \(\}\)．下列结果正确的是(　　)   A．\(P(M)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(N)=\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(P(M)=\dfrac{1}{2}\)，\(P(N)=\dfrac{3}{4}\)   C．\(P(M)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(N)=\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(P(M)=\dfrac{1}{2}\)，\(P(N)=\dfrac{1}{2}\)  

4.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为(　　)  A.\(0.125\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.25\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.875\)  

5.(多选)已知甲罐中有\(2\)个大小、质地完全一样的小球，标号为\(1\)，\(2\)，乙罐中有\(4\)个大小、质地完全一样的小球，标号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取\(1\)个小球，记样本空间为\(Ω\)，事件\(A\)为“抽取的两个小球标号之和大于\(4\)”，事件\(B\)为“抽取的两个小球标号之积小于\(5\)”，则下列结论正确的是(　　)   A．\(A\)与\(B\)是互斥事件 \(\qquad\) B．\(A\)与\(B\)不是对立事件 \(\qquad\) C．\(Ω=A\cup B\) \(\qquad\) D． \(P(A)+P(B)=\dfrac{9}{8}\)  

6.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为\(a\)，第二次朝上一面的点数为\(b\)，则函数\(y=ax^2-2bx+1\)在\((-\infty， 2]\)上为减函数的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．  

7.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为\(\underline{\quad \quad}\)．  

8.有\(3\)个相同的球，分别标有数字\(1\)，\(2\)，\(3\)，从中有放回的随机取两次，每次取\(1\)个球．用\((x，y)\)表示试验的样本点，其中\(x\)表示第一次取出的基本结果，\(y\)表示第二次取出的基本结果．   (1)写出这个试验的样本空间\(Ω\)；   (2)用\(A\)表示事件“第一次取出的球的数字是\(1\)”；用\(B\)表示事件“两次取出的球的数字之和是\(4\)”，求证：\(P(AB)=P(A)P(B)\)．      

9.将一枚骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数，求：   (1)两数之和为\(6\)的概率；   (2)两数之和是\(3\)的倍数的概率；   (3)两数之积是\(6\)的倍数的概率；   (4)以第一次向上的点数为横坐标\(x\)、第二次向上的点数为纵坐标\(y\)的点\((x，y)\)在圆\(x^2+y^2=25\)的内部的概率．      

10.将一颗骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数，事件\(A\)：“两数之和为\(8\)”，事件\(B\)：“两数之和是\(3\)的倍数”，事件\(C\)：“两个数均为偶数”．   (1)写出该试验的基本事件空间\(Ω\)，并求事件\(A\)发生的概率；   (2)求事件\(B\)发生的概率；   (3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率．      

参考答案

答案 \(C\) 解析 对于①，古典概型要求基本事件有有限个，\(\therefore\)①正确； 对于②，每个事件出现的可能性相等；不满足古典概型的定义，\(\therefore\) ②不正确； 对于③，基本事件的总数为\(n\)，随机事件\(A\)包含\(k\)个基本事件，则\(P(A)=\dfrac{k}{n}\)；满足古典概型的概率计算法则，\(\therefore\)③正确； 对于④，每个基本事件出现的可能性相等．满足古典概型的性质，\(\therefore\)④正确； 正确命题有：①③④． 故选：\(C\)．

答案 \(C\) 解析 对于\(A\)，口袋中有\(2\)个白球和\(3\)个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}，这两个事件不是等可能的，故\(A\)错误； 对于\(B\)，在区间\([-1，5]\)上任取一个实数\(x\)，使\(x^2-3x+2>0\)，该事件个数是无限的，故\(B\)错误； 对于\(C\)，抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面，情况为\(2\)种，有限，并且出现正面或反面的概率均为\(\dfrac{1}{2}\)，等可能，故\(C\)正确； 对于\(D\)，某人射击中靶或不中靶，不是等可能的，故\(D\)错误． 故选：\(C\)．

答案 \(B\) 解析 掷一枚均匀的硬币两次，样本空间\(Ω=\{\)(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)\(\}\)， 事件\(M=\{\)(正，反)，(反，正)\(\}\)，\(\therefore P(M)=\dfrac{1}{2}\)； 事件\(N=\{\)(正，正)，(正，反)，(反，正)\(\}\)，\(P(N)=\dfrac{3}{4}\)． 故选：\(B\)．

答案 \(D\) 解析 任取三个整数，共有八种情况： 其中至少有一个数为偶数的情况有\(7\)种，所以所求概率为 \(\dfrac{7}{8}=0.875\)， 故选\(D\).

答案 \(BCD\) 解析 现从甲罐、乙罐中分别随机抽取\(1\)个小球，记样本空间为\(Ω\)， 则\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)\}\)， 事件\(A\)为“抽取的两个小球标号之和大于\(4\)”， 则事件\(A\)包含的基本事件有：\(\{(1，4)，(2，3)，(2，4)\}\)， 事件\(B\)为“抽取的两个小球标号之积小于\(5\)”， 则事件\(B\)包含的基本事件有： \(\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)\}\)， \(\therefore\)事件\(A\)，\(B\)能同时发生，故事件\(A\)，\(B\)不是互斥事件，不是对立事件， 故\(A\)错误，\(B\)正确； \(Ω=A\cup B\)，故\(C\)正确； \(P(A)+P(B)=\dfrac{3}{8}+\dfrac{6}{8}=\dfrac{9}{8}\)，故\(D\)正确． 故选：\(BCD\)．

答案 解析 由题意，函数\(y=ax^2-2bx+1\)在\((-\infty， 2]\)上为减函数满足条件 \(\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \dfrac{b}{a} \geqslant 2 \end{array}\right.\)． \(\because\)第一次朝上一面的点数为\(a\)，第二次朝上一面的点数为\(b\)， \(\therefore a\)取\(1\)时，\(b\)可取\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)；\(a\)取\(2\)时，\(b\)可取\(4\)，\(5\)，\(6\)； \(a\)取\(3\)时，\(b\)可取\(6\)，共\(9\)种 \(\because (a，b)\)的取值共\(36\)种情况 \(\therefore\)所求概率为 \(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)． 故答案为：\(\dfrac{1}{4}\)．

答案 \(\dfrac{7}{27}\) 解析 三辆车经过十字路口的情况有\(27\)种， 至少有两辆车向左转的情况数为\(7\)种，所以概率为：\(\dfrac{7}{27}\)．故答案为：\(\dfrac{7}{27}\)．

答案 (1)略 ；(2) 略 解析 (1)从\(3\)个球中有放回的随机取两次，该试验的样本空间\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，\)\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)\}\)； (2)证明：事件\(A\)包含的样本点为\((1，1)，(1，2)，(1，3)\)， \(P(A)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)； 事件\(B\)包含的样本点为\((1，3)\)，\((2，2)\)，\((3，1)\)， \(P(B)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)； 而事件\(AB\)表示“第一次取出的球的数字是\(1\)且两次取出的球的数字之和是\(4\)”， 它包含的样本点为\((1，3)\)， \(P(A B)=\dfrac{1}{9}\)； 故\(P(AB)=P(A)P(B)\)．

答案 (1)\(\dfrac{5}{36}\)；(2)\(\dfrac{1}{3}\)；(3) \(\dfrac{5}{12}\)；(4) \(\dfrac{13}{36}\) 解析 (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是\(6×6=36\)种结果， 满足条件是事件是两个数字的和是\(6\)，共有\((1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)\)五种情况， \(\therefore\)两数之和为\(6\)的概率是\(\dfrac{5}{36}\)． (2)记“两数之和是\(3\)的倍数”为事件\(B\)，则事件\(B\)中含有 \((1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，\)\((4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)\)共\(12\)个基本事件， 故两数之和是\(3\)的倍数的概率为： \(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\) (3)记“向上的两数之积是\(6\)的倍数”为事件\(B\)，则由列表可知，事件\(B\)中含有其中的\(15\)个等可能基本事件， 所以 \(P(B)=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}\)； (4)由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是\(6×6=36\)种结果， 第一次向上点数为横坐标\(x\)、第二次向上的点数为纵坐标\(y\)的点\((x，y)\) 当\(x=1\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(4\)种结果， 当\(x=2\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(4\)种结果， 当\(x=3\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(3\)种结果， 当\(x=4\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(2\)种结果， \(\therefore\)共有\(4+4+3+2=13\)种结果． \(\therefore\)要求的概率是 \(\dfrac{13}{36}\).

答案 (1) 略；(2)\(\dfrac{1}{3}\)；(3) \(\dfrac{11}{36}\) 解析 (1)将一颗骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数， \(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，\) \((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，\) \((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，\) \((4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，\) \((5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，\) \((6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\}\)，共有\(36\)个基本事件， 事件\(A\)：“两数之和为\(8\)”，事件\(A\)包含的基本事件有： \((2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)\)，共\(5\)个基本事件， \(\therefore\)事件\(A\)发生的概率为\(P(A)=\dfrac{5}{36}\)． (2)事件\(B\)：“两数之和是的倍数”， 事件\(B\)包含的基本事件有\(12\)个，分别为： \((1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，\)\((4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，\) \(\therefore\)事件\(B\)发生的概率\(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)． (3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生包含的基本事件有\(11\)个，分别为： \((2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，\)\((5，3)，(6，2)，(6，4)，(6，6)\)， \(\therefore\)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率为 \(P(A \cup C)=\dfrac{11}{36}\)．  

1.一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得\(27\)个小立方块，从中任取两个，其中恰有\(1\)个一面涂有红色，\(1\)个两面涂有红色的概率为(　　)  A． \(\dfrac{16}{117}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{32}{117}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{8}{39}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{16}{39}\)  

参考答案