非线性方程与非线性方程组的迭代解法(一).ppt

第四章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法

一、非线性方程（组）的近似求解的必要性

（1）单个方程情形：在非线性方程的求解中，多项式求根是常见且最简单

的情形。根据代数基本定理，在复数域内，n次多项式至少有一个根，

而由Galois（伽罗华）理论，5次以上（含5次）的多项式无根式求解。

从而近似求解方程就成为必需的了。除多项式求根以外，更多的是超

越方程求根问题。例如天体力学中有如下Kepler（开普勒）方程：

其中t表示时间，行星运动的轨道x是t的函数。该方程不能精确解出运

动轨道位置x(t)。

（2）多个方程情形：在用数值方法求解常微分方程组时经常遇到非

线性方程组求根问题。

二、非线性方程（组）求解研究的难点

（1）解的存在性、唯一性不易确定；

（2）迭代解法求解；

（3）迭代法的收敛性往往为局部收敛。

三、求解非线性方程的近似解的步骤

（1）判断根的存在性；

（2）确定根的分布区间；

（3）根的精确化。

问题：设有非线性方程

（1）

其中

为一元非线性函数。若常数

使得

，则称

是方程（1）的根（或

的零点）。若

其中

，则称

是（方程1）的m重根（或

的m重

零点。当m=1时，

称为方程（1）的单根或

的单零点。

4.1 对分法和简单迭代法

一、对分法

基本思想：对有根区间不断进行对分，即逐渐二分有根区间，得

一系列有根区间

，当k

充分大时，取

的中点作为根的近似值。

优点：算法简单方便，其收敛性总能保证；

缺点：可能漏根。

例1：求

的根。

二、简单迭代法及其收敛性

1、基本思想

将方程（1）改写成等价形式

（2）

构造迭代公式

（3）

由此产生一迭代序列

。在一定的条件下我们希望该序列

是收敛的，于是当k充分大时，可取

作为方程（1）的近似根。

迭代法（3）称为求解方程（1）的简单迭代法，

称为

迭代函数。

故简单迭代法又称为不动点迭代法。

收敛情形

不收敛情形

问题1：这样求根的近似值的理论依据是什么？

问题2：怎样构造等价方程？

问题3：序列

是否收敛？收敛的条件是什么？

则有如下结论：

2、收敛条件

例2：用简单迭代法求

解：迭代格式

k

迭代格式（一）

迭代格式（二）

迭代格式（三）

0

2

2

2

1

2.080084

2.121320

1

2

2.092351

2.087348

-5

3

2.094217

2.096517

-125

4

2.094501

2.094

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