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第一章 函数 极限 连续概述用处第一节 函数第二节 极限一、极限的概念与性质数列的极限例1例2
函数的极限极限的性质(保号性重点 有界性)例12例13例14
`函数极限与数列极限的关系`例15
第一章 函数 极限 连续
概述
在数学中,函数、极限和连续是微积分中的重要概念。让我们逐个介绍它们。 函数: 函数是一种将一个集合的元素(称为自变量)映射到另一个集合的元素(称为因变量)的规则。简而言之,函数描述了输入和输出之间的关系。在数学中,函数通常用符号表示,如f(x),其中x是自变量,f(x)是对应的因变量。函数可以是各种形式的,包括多项式函数、指数函数、对数函数等。 极限: 极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。当自变量逐渐接近某个特定值时,函数的值可能会趋近于某个确定的值。这个确定的值就是函数的极限。形式上,如果对于任意给定的精度要求,存在一个足够接近给定点的自变量的取值范围,在这个范围内函数值与极限之间的差距小于给定的精度要求,那么我们称该函数在给定点处有极限。 连续: 连续是描述函数在某一区间内的平滑性和连贯性的性质。如果函数在某个点处的极限存在,并且该极限与函数在该点处的函数值相等,那么我们称该函数在该点处是连续的。换句话说,连续函数的图像可以在不出现断裂或跳跃的情况下画出来。 这些概念在微积分中扮演着重要的角色,用于研究函数的性质、计算导数和积分等。深入理解函数、极限和连续的概念,有助于建立数学分析的基础,并应用于更高级的数学和科学领域中。 用处下面给出一些关于函数、极限和连续的例子,以及应用这些概念的一些领域: 函数例子: f(x) = x^2:一个简单的二次函数。g(x) = sin(x):正弦函数,周期性的波动函数。h(x) = 1/x:一个反比例函数,当x趋近于0时,函数值趋近于无穷大。极限例子: lim(x->0) (sin(x)/x) = 1:这是一个著名的极限,称为正弦函数的极限。它表明当x趋近于0时,sin(x)/x的值趋近于1。lim(x->∞) (1 + 1/x)^x = e:这是自然对数的定义,它表明当x趋近于无穷大时,(1 + 1/x)^x的值趋近于自然对数的底e。连续例子: 在闭区间[0, 1]上,函数f(x) = x^2是连续的,因为在该区间内,对于任意给定的x值,函数f(x)的极限和函数f(x)的值是相等的。反之,在开区间(0, 1)上,函数g(x) = 1/x是不连续的,因为在x=0处,函数g(x)的极限为无穷大,而函数g(x)在x=0处没有定义。应用领域: 物理学中,极限和连续的概念被广泛应用于描述物体的运动、速度和加速度等。经济学中,极限和连续的概念可以用于建立经济模型和分析经济现象。工程学中,极限和连续的概念用于设计和优化工程结构和系统。计算机科学中,极限和连续的概念被应用于算法分析、图像处理、模拟和优化等领域。这些只是一些简单的例子和应用领域,函数、极限和连续的概念在数学和各个科学领域中都有广泛的应用和深入的研究。 第一节 函数判断有界要用函数的绝对值,并且这里的不等式解法需要注意 需要注意这里的论证方式 第二节 极限 一、极限的概念与性质 数列的极限奇数子列要收敛于a,偶数子列也需要收敛于a(以2n为例子,若为3n,则余1、余2、余0的子列都要收敛于a) 拓展出去就是,所有的子列都收敛于a,才能说这个数列收敛于a 例1例2 函数的极限 自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量趋于有限值函数的极限 需要注意的有左极限以及右极限 需要分左右极限的状况 极限的性质(保号性重点 有界性)有界性 数列 数列若收敛则一定有界,反之不成立 有界是有上界或者有下界,上界下界可以相同,这种情况就是收敛 函数 函数极限存在即说明函数在去心邻域有界(局部有界) 反之不成立 局部有界不代表在那个点的函数极限存在 保号性 数列 如果数列趋于无穷时的极限值大于零或者小于零,则存在一个很大的n,使得 x n x_n xn的值大于零或者小于零 如果一个数列存在一个很大的n,使得 x n x_n xn的值大于等于零或者小于等于零,则数列极限也大于等于零或者小于等于零 最主要的原因是,取值可能取不到0,但是极限可以到0 函数 道理同数列 如果极限值大于则去心邻域也大于 如果函数大于或者大于等于,则极限值大于等于 例12 例13大于什么系数大于零小于一;小于什么系数大于一 例14 局部有界连续判定 函数极限与数列极限的关系 例15 |
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