贝叶斯公式与三门问题讨论

2024-06-02 08:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

复习几个概念

样本空间：随机试验所有可能的结果的集合，一般记为S

随机事件：试验的样本空间S的某一个子集，简称事件

频数：相同条件下，进行n次试验，事件A发生的次数，记为na

频率：na/n

概率：重复试验的次数n逐渐增大时，频率的稳定值（先验概率）

事件之间的关系：和事件 A ⋃ B A \bigcup B A⋃B ，积事件 A ⋂ B A \bigcap B A⋂B简称AB

条件概率（后验概率）

事件A发生的条件下事件B发生的概率，用 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)表示

例1:将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A：”至少有一次为正面“，事件B：”两次掷出同一面“。求事件A已经发生的情况下，事件B发生的概率。

解：

另正面=M，反面=N

样本空间S={MM,MN,NM,NN}

事件A={MM,MN,NM}

事件B={MM,NN}

A已经发生的情况下，事件B发生的情况只有MM，那么 P ( B ∣ A ) = 1 3 = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac 1 3=\frac {P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=31=P(A)P(AB)

综上所述，设试验的基本事件总数为n，事件A所包含的基本事件数为m，AB所包含的基本事件数为k，既有 P ( B ∣ A ) = k m = k / n m / n = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac k m = \frac {k/n}{m/n} = \frac {P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=mk=m/nk/n=P(A)P(AB)

本质是样本空间发生了改变，当A为条件时，样本空间从S变成了A 乘法定理： P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)=P(B|A)P(A) P(AB)=P(B∣A)P(A)

P ( A 1 A 2 . . . A n ) = P ( A n ∣ A 1 A 2 . . . A n − 1 ) P ( A n − 1 ∣ A 1 A 2 . . . A n − 2 ) . . . P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P(A_1A_2...A_n)=P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1A_2...A_{n-2})...P(A_2|A_1)P(A_1) P(A1A2...An)=P(An∣A1A2...An−1)P(An−1∣A1A2...An−2)...P(A2∣A1)P(A1)

全概率公式

划分:设S为试验E的样本空间， B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn 为E的一组事件，并满足以下条件：（ i ） B i B j = ϕ , i ≠ j , i , j = 1 , 2 , . . . , n ; （i）B_iB_j = \phi,i \neq j,i,j=1,2,...,n; （i）BiBj=ϕ,i̸=j,i,j=1,2,...,n; （ i i ) B 1 ⋃ B 2 ⋃ . . . ⋃ B n = S （ii) B_1 \bigcup B_2 \bigcup ... \bigcup B_n=S （ii)B1⋃B2⋃...⋃Bn=S

设试验E为“整一颗骰子观察其点数”，样本空间S={1,2,3,4,5,6} ,E的一组B1={1,2,3},B2={4},B3={5,6},是S的一个划分。

定义:设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为E的一个划分，且 P ( B i ) ; 0 ( i = 1 , 2 , . . . , n ) P(B_i);0(i=1,2,...,n) P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则 P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + . . . + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) P(A)=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n) P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn) 推导： A = A S = A ( B 1 ⋃ B 2 ⋃ . . . ⋃ B n ) = A B 1 ⋃ A B 2 ⋃ . . . ⋃ A B n A=AS=A( B_1 \bigcup B_2 \bigcup ... \bigcup B_n)=AB_1 \bigcup AB_2 \bigcup ... \bigcup AB_n A=AS=A(B1⋃B2⋃...⋃Bn)=AB1⋃AB2⋃...⋃ABn P ( A ) = P ( A S ) P(A)=P(AS) P(A)=P(AS) … = P ( A B 1 ⋃ A B 2 ⋃ . . . ⋃ A B n ) =P(AB_1 \bigcup AB_2 \bigcup ... \bigcup AB_n) =P(AB1⋃AB2⋃...⋃ABn) … = P ( A B 1 ) + P ( A B 2 ) + . . . + P ( A B n ) =P(AB_1) + P(AB_2) + ... + P(AB_n) =P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn) … = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + . . . + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) =P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n) =P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)[由乘法定理可得]

意义:现实中无法直接求得P(A),却可以间接通过S的一个划分 B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn求得，且 P ( B i ) P(B_i) P(Bi)和 P ( A ∣ B i ) P(A|B_i) P(A∣Bi)可能是已知条件，或者很容易求到，那么就能通过全概率公式求到 P ( A ) P(A) P(A)

例2:某电子厂设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录又以下的数据：

元件制造厂次品率提供元件的份额10.0215%20.0180%30.035%

求随便从所有的元件中取一个，次品的概率；

解：设A表示“取到的一个是次品”， B i ( i = 1 , 2 , 3 ) B_i(i=1,2,3) Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第 i i i家工厂提供的”,由此易知， B 1 , B 2 , B 3 B_1,B_2,B_3 B1,B2,B3是样本空间S的一个划分，且有 P ( B 1 ) = 0.15 , P ( B 2 ) = 0.80 , P ( B 3 ) = 0.05 P(B_1)=0.15,P(B_2)=0.80,P(B_3)=0.05 P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05 P ( A ∣ B 1 ) = 0.02 , P ( A ∣ B 2 ) = 0.01 , P ( A ∣ B 3 ) = 0.03 P(A|B_1)=0.02,P(A|B_2)=0.01,P(A|B_3)=0.03 P(A∣B1)=0.02,P(A∣B2)=0.01,P(A∣B3)=0.03 P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + P ( A ∣ B 3 ) P ( B 3 ) = 0.0125 P(A)=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3) = 0.0125 P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)=0.0125

贝叶斯公式

例2中，思考：若取出一个元件经检验发现为次品，求该元件为第2家提供的概率；

P ( B 2 ∣ A ) = P ( A B 2 ) P A [ 条件概率 ] P(B_2|A)=\frac {P(AB_2)}{P{A}}[条件概率] P(B2∣A)=PAP(AB2)[条件概率]

… = P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) P ( A ) [ 乘法定理 ] =\frac {P(A|B_2)P(B_2)}{P{(A)}}[乘法定理] =P(A)P(A∣B2)P(B2)[乘法定理]

… = P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + P ( A ∣ B 3 ) P ( B 3 ) [ 乘法定理 ] =\frac {P(A|B_2)P(B_2)}{P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3)}[乘法定理] =P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)P(A∣B2)P(B2)[乘法定理]

由此可得，贝叶斯公式:设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为S的一个划分，且 P ( A ) ; 0 , P ( B i ) ; 0 ( i = 1 , 2 , . . . , n ) P(A);0,P(B_i);0(i=1,2,...,n) P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则 P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(B_i|A) = \frac {P(A|B_i)P(B_i)} {\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} P(Bi∣A)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)

练习:据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患癌症的概率是多少？

关于”三门问题“的讨论

问题概述：在这里插入图片描述

现场有三扇关闭了的门，其中一扇的后面有辆跑车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。参赛者需要从中选择一扇门，如果参赛者选中后面有车的那扇门就可以赢得这辆跑车。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。接下来参赛者会被问到：是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门？

分析：假定参赛者选第1扇门

如果选择的1号门后是汽车，则主持人会随机的打开2、3号门，打开的概率都为0.5;如果先泽的1号门后面不是汽车，则主持人一定会打开2号或3号门的其中一扇，概率分别为1和0；

答案：设事件 A i ( i = 1 , 2 , 3 ) A_i(i=1,2,3) Ai(i=1,2,3)为“第 i i i扇门后有汽车”，事件B“主持人打开2号门”

则 P ( A 1 ) = 1 3 P(A_1)=\frac 13 P(A1)=31、 P ( A 2 ) = 1 3 P(A_2)=\frac 13 P(A2)=31、 P ( A 3 ) = 1 3 P(A_3)=\frac 13 P(A3)=31，

容易求得：第 i i i扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 P ( B ∣ A i ) P(B|A_i) P(B∣Ai):

第 1 1 1扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 P ( B ∣ A 1 ) = 1 2 P(B|A_1)=\frac 12 P(B∣A1)=21第 2 2 2扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 P ( B ∣ A 2 ) = 0 P(B|A_2)=0 P(B∣A2)=0第 3 3 3扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 P ( B ∣ A 3 ) = 1 P(B|A_3)=1 P(B∣A3)=1

所以 P ( B ) = P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B ∣ A 2 ) P ( A 2 ) + P ( B ∣ A 3 ) P ( A 3 ) = 1 2 P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)=\frac 1 2 P(B)=P(B∣A1)P(A1)+P(B∣A2)P(A2)+P(B∣A3)P(A3)=21 最终想要求得：主持人打开2号门之后第 i i i扇门后有汽车的概率 P ( A i ∣ B ) P(A_i|B) P(Ai∣B):

主持人打开2号门之后第 1 1 1扇门后有汽车的概率 P ( A 1 ∣ B ) = P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B ∣ A 2 ) P ( A 2 ) + P ( B ∣ A 3 ) P ( A 3 ) = 1 3 × 1 2 1 2 = 1 3 P(A_1|B)=\frac {P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}=\frac {\frac 13 \times \frac 12} {\frac 12}=\frac 13 P(A1∣B)=P(B∣A1)P(A1)+P(B∣A2)P(A2)+P(B∣A3)P(A3)P(B∣A1)P(A1)=2131×21=31主持人打开2号门之后第 2 2 2扇门后有汽车的概率 P ( A 1 ∣ B ) = P ( B ∣ A 2 ) P ( A 2 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B ∣ A 2 ) P ( A 2 ) + P ( B ∣ A 3 ) P ( A 3 ) = 1 3 × 0 1 2 = 0 P(A_1|B)=\frac {P(B|A_2)P(A_2)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}=\frac {\frac 13 \times 0} {\frac 12}= 0 P(A1∣B)=P(B∣A1)P(A1)+P(B∣A2)P(A2)+P(B∣A3)P(A3)P(B∣A2)P(A2)=2131×0=0主持人打开2号门之后第 3 3 3扇门后有汽车的概率 P ( A 1 ∣ B ) = P ( B ∣ A 3 ) P ( A 3 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B ∣ A 2 ) P ( A 2 ) + P ( B ∣ A 3 ) P ( A 3 ) = 1 3 × 1 1 2 = 2 3 P(A_1|B)=\frac {P(B|A_3)P(A_3)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}=\frac {\frac 13 \times 1} {\frac 12}= \frac 23 P(A1∣B)=P(B∣A1)P(A1)+P(B∣A2)P(A2)+P(B∣A3)P(A3)P(B∣A3)P(A3)=2131×1=32

由此可以看出：当参赛者选择1号门，未打开门时概率为先验概率（都为 1 3 \frac 13 31），当门被主持人打开一扇之后，门后有汽车的概率都发生了相应的调整，变更为 1 3 \frac 13 31、 0 0 0、 2 3 \frac 23 32，也就是说如果参赛者不改变想法，仍然选择第1扇门，那么概率仍为1/3，如果改变想法选择第3扇门，概率就会变成 2 3 \frac 23 32

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