深入探讨三角函数的命名规范

你知道正弦函数Sine为什么叫正弦吗?

除此之外, 正切, 正割, 余函数为什么取这些奇怪的名字, 非常难记忆?

最近研究机器学习, 得知ML需要大量的数学知识做支撑, 所以回去巩固了一下高等数学, 在三角函数这一部分得到了一些突破, 就是三角函数有什么几何意义? 

三角函数名字肯定不是乱取的,因为数学是非常严谨的,其实, 弦, 切, 割指的就是某一个弦长, 某一个切线段长, 以及一个割线段长, 具体是哪些线段呢? 先掠过一张图意会一下:

OK, 别盯着看太久 , 因为这2张图有错误. 我们先从三角函数的源头谈起, 首先三角函数也叫圆函数, 三角函数放在一个单位圆上才有几何意义, 下文统一称之为圆函数.

可是圆函数只和一个角α(alpha)有关啊, 为什么能扯到三角形, 又扯到圆呢?我想, 是为了让α具有几何意义, 所以数学家选择了使用具有角的最简单几何图形------三角形△来描述一个α, 这个△如何设计呢, 其中一个∠作为α没问题, 剩下2个∠呢, 有2种方法, 一个是让剩下2个相等 , 成为等腰三角形, 另一种是构造一个直角三角形(RT△), α成为某一个内角或者外角(alpha>π/2), 很显然RT三角形在各种计算上更方便, 而且非常适合嵌入到单位圆中, 单位圆又可以完美融入直角坐标系, 所以数学家们选择使用RT三角形来描述角.

三角形如何嵌入单位圆是一个很严肃的问题, 一般人会想到将直角作为直径对应的圆周角, 但是数学家想到一个更棒的模型: 以α相邻的直角边为直径做一个圆, 直径的长度为1, 所以这个圆是二分之一的单位圆:

这样结合有什么好处呢? 这样子, 这个平面图形当中既有直径AB, 又有弦BD,切线BC和割线AC, 而他们的大小, 位置和形状全部由α决定.

先回到之间的圆函数: 三角形3条边两两相比, 总共有C(3,2)*2===6种结果, 分别是正弦, 正切, 正割, 统称"正圆函数", 以及余弦, 余切, 余割(余函数). 其中, 圆函数与余圆函数是相对的, 余圆函数就是π/2-α的圆函数, 所以, 标准圆函数只有3中, 即正的'弦,切,割'.

所以, 图中α的sine值, tagent值, secant值就是图中的弦长, 切线长, 割线长. 只要记住比例缩放到AB===1即可.

上面的正函数是不是一目了然呢? 但是图中还余下一根弦AD, 也就是余弦cosine, 余下的切线在哪呢? 直线和圆的切线可以被切点分为2部分, 余下的那部分就是沿着CB向量延长.....然后呢? 我们需要构建一个余角α`:

根据对称性, 图中BD`, BC`和AC`就是α`的弦, 切, 割.

我们在大脑中模拟这个集合图形的时候要想到大的三角而不是局限在圆内部的小三角.

除了6个基本的圆函数(包括3个余函数), 历史上还有2个扩展的圆函数: 正矢和余矢, 其实很简单, 比如图中CD线段就还没有被命名呢, 所以就去了一个新的名字'矢', 比如正矢versine(θ)===1 - cosine(θ), 但是谈'矢'是没有意义的, 因为仔细看刚刚的图像, 其中的圆只要保持切点B不变, 是可以自由缩放的, 缩放之后, 弦, 切, 割都不变, 但是矢就变了, 所以, 让直径等于1也好2也好, 都是为了好看, 并没有实际意义, 所以矢没有意义, 现代数学也就不再使用矢函数了.

图中有多个直角, 许多相似三角形, 关系显而易见, 比如:

除此之外, 将公式内所有圆函数函数换成它的余函数(complement function)也是 成立的, 比如sine/cosine===tagent可以变换成:cosine/sine === cotangent.

在3个正函数之间也有关系: sine < 1, tangent = sine * secant < secant

面对乱中有序的圆函数方程式, 任何公式可以类比到它的余函数, 然后记忆的负担就少多了~