[快乐数学]一元三次方程的求根公式

我想你一定经历过被三次四次方程支配的恐惧吧。看过这篇文章你应该可以彻底摆脱被一元三次方程支配的恐惧（前提是你得好好背公式hhh）

对于一般的一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0（a≠0，a，b，c，d均为常数）的求根难度可想而知，所以我们必须要对其进行一定的化简将原方程换成其他形式的方程来求根。

首先，很容易想到我们可以两边同时除以a来化简，得到

x³+（b/a）x²+（c/a）x+（d/a）=0

显然此方程与原方程等价，而我们化简的核心就是找到更简形式的方程与原方程等价，不断降低求解难度。

可是这个好像还是很难处理啊。看来我们得继续化简。所以我们该何去何从？好像真的没有思路，不过我们可以对比一下一元二次方程和一元一次方程的求根公式的求法看看能不能获得启示。（这里其实是想从已知中得到经验来解决未知）

当然咱一口也吃不成一个胖子，先从最简单的一元一次方程开始吧。

对于kx+b=0（k≠0，k，b为常数）首先是移项得到kx=－b，然后两边同时除以k得到x=－（b/k）（我知道你对这个求根公式十分不屑因为它太简单了）

看看刚刚的过程吧，它启示我们可以通过一定的代数化简来求解，这似乎真的没什么，因为这些太简单了。

接着看看你也很熟悉的一元二次方程吧。

对于ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）我们用的方法是配方法。

首先还是用我们之前的化简方法得到

x²+（b/a）x+（c/a）=0

接着和一元一次方程一样把常数项移走得到

x²+（b/a）x=－（c/a）

右边的常数项对我们来说不重要，让它去吧。

下面是配方法的核心两边同时乘以一次项系数的一半，接着开平方得到一元一次方程，接着套刚刚的公式得到

x_（1、2）=[－b±sqr（b²－4ac）]/2a

这就是一元二次方程的求根公式，和你学的一样吧。（式子中的sqr（x）代表对x求算数平方根）另外定义Δ=b²－4ac，那么Δ就可以作为一元二次方程的根的判别式。当然这里我就不展开了。

‍从一元二次方程的求解上我们可以得到一个基本思路：降次。

但是这就完了吗？在高中解决一些交点或零点问题时我们常常把方程上升到函数，刚刚我们对二次函数做了些什么呢？

事实上，你刚刚把原方程化简成了解x²=Constant （常数，以后我会用大写的c代替常数）

那么你是怎么化简的呢？事实上从几何角度来说，你把抛物线也就是二次函数的图像进行了平移，平移量是－b/（2a）（如果我们把一次方程的k换成a那么一次函数的平移量就是－b/a，是不是有点什么？）

从刚刚一次二次方程的求解提示着我们平移

那么平移多少呢？是－b/（3a）吗？

在二次方程的求解中我们把抛物线平移到了一个特殊的位置进而化简了求解实现了降次得到了结果。这里面对一元三次方程我们或许可以故技重施。当然我们对平移量已经有了一个小小的猜想了，你可以试试，然后结构确实化简了，我们的目的达到了。

那么－b/（3a）对应了什么呢？

如果你对三次函数熟悉的话你应该知道，那是拐点（在这里也希望疫情尽快进入拐点）。这是个特殊点的事应该也算是符合自觉吧，而且这个点和三次函数的对称性有关哦（这里不展开，如果你想了解的话那就为它投一票吧）

我们定义t=x+b/（3a）

那么我们第一次化简后的式子就成了

[t－b/（3a）]³+（b/a）｛t－[b/（3a）]｝²+（c/a）[t－b/（3a）]+（d/a）=0

接下来的事应该很明显了吧，那就是痛苦的化简，不过这里涉及到了（a+b）³的计算结果，如果你知道二项式定理的话那就好办了，如果你不知道。。。。看下面吧

（f+g）³

=（f+g）（f+g）²

=（f+g）（f²+2fg+g²）

=f³+2f²g+fg²+f²g+2fg²+g³

=f³+3f²g+3fg²+g³（这个玩意的系数和杨辉三角似乎有点东西）

请记住它，我暂时称它为公式①

然后我们利用公式①进行痛苦的化简就能得到

t³+[（c/a）－（b²/3a）]t+2b³/（27a³）－[bc/（3a²）+（d/a）

现在最最开始的方程和这堆形如x³+px+q=0的方程等价（当然你需要把t换成x+b/（3a））

现在你已经站在了一元三次方程的大门前了。我们只需要解决x³+px+q=0这个方程就行了，剩下的任务听起来很简单？或许吧。

那么怎么做呢？我不知道，我们好像束手无策。不如再回去看看一元一次和二次方程？

在二次方程中我们用到了配方法，也就是用到了完全平方公式那么我们能不能在三次方程中也用类似的方法呢？我想这个应该很好想到吧。事实上没有有效地实现式子的化简就是对落实这种方法的最大阻碍。

我们再看看公式①当然我们得对它做点什么

（u+v）³=u³+3uv²+3u²v+v³

=u³+v³+3uv（v+u）

那么（u+v）³－3uv（u+v）－u³－v³=0

令s=u+v，r=－3uv，j=－u³－v³则有

s³+rs+j=0

x³+px+q=0是我们的目标，形式完全一样

那么有p=－3uv②q=－u³－v³③x=u+v④

我们把q，p看作已知数那么用②③就能求解u，了。然而情况似乎更糟我们遇到了二元三次方程组，显然我们需要消元降次

这里我们用代入法消元不过要做点什么别的。

将②左右同时立方得到p³=－27u³v³即－u³v³=（p/3）³

③×v³得到－u³v³－（v³）²=qv³

然后代入得到（p/3）³－（v³）²=qv³

换元令h=v³得到（p/3）³－h²=qh⑤这是个一元二次方程啊，一切解决了

如法炮制就能得到u（u，v之间还有轮换关系不妨用一用）

我知道你得到了一堆解这时候代几个特例去舍根就好了

到这里我可以说你已经完成工作了因为剩下的就是无聊的代数运算而已。

先来解方程⑤（p/3）³－h²=qh

移项两边同时乘以－1得 h²+qh－（p/3）³=0

运用求根公式 h={－q±sqr[q²+4（p/3）³]}/2

所以v=“{－q±sqr[q²+4（p/3）³]}/2”的立方根

同理可求u后进行舍根

经过一定的检验你就能留下一正一负的结果。

x³+px+q=0的求根公式就很容易得到了

x=u+v=“{－q+sqr[q²+4（p/3）³]}/2+{－q－sqr[q²+4（p/3）³]}/2”的立方根

于是把我们对ax³+bx²+cx+d=0的最后一次化简的结果再整理一下套进这个求根公式就好了。

现在你已经离完成任务不远了

对我们最终化简的方程利用刚刚求的求根公式你就能得到答案

t=“[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]－sqr｛[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]²+[c/（3a）－b²/（9a²）]³｝”的立方根+[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]+sqr｛[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]²+[c/（3a）－b²/（9a²）]³｝

当然了我们的目标是x而不是t

由x和t的关系可得

x=“[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]－sqr｛[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]²+[c/（3a）－b²/（9a²）]³｝”的立方根+“[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]+sqr｛[－b³/（27a³）+bc/（6a²）－d/（2a）]²+[c/（3a）－b²/（9a²）]³｝”的立方根－[b/（3a）]

这就是著名的卡尔丹公式，你应该也能看得出来，它真的复杂冗长，很难用。

我知道你现在还有很多问题比如：一元三次方程不是可以有3个根吗为什么只有一个式子。这些问题其实也不简单，说不定下一期我就会讲。

这一期是正式内容到此结束，下面是废话时间。

这篇是我在哔哩哔哩的第一篇文章，我不知道有多少人会看，我也不知道你们喜欢什么，当然因为我的学业也很繁忙我也不知道什么时候更新下一期。我会安排一个投票来决定下一期的内容的，如果没人投那我就自由发挥了。