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矩阵乘法

2024-05-18 22:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

矩阵乘法

矩阵是数的排列

矩阵 (这矩阵有2行和3列)

把矩阵与一个数相乘是容易的:

计算是这样的: 2×4=8 2×0=0 2×1=2 2×-9=-18

我们叫这个数 ("2")为标量,所以这乘法被称为"标量乘法".

矩阵与矩阵相乘

但若要把矩阵与矩阵相乘,我们要计算行与列的"点积"……这是什么意思?我们来看个例子:

第一行第一列 的答案:

"点积" 是把 对称的元素相乘,然后把结果加起来:

(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

我们把第一个元素相配(1 和 7),然后相乘。第二个元素(2 和 9) 和第三个元素(3 和 11)也一样,然后把结果加起来。

想多看一个例子?这是第一行与第二列

(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

第二行第一列也同样做:

(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

第二行第二列

(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

我们得到:

做好了!

为什么要这样做?

乍看像个过于复杂的乘法,但这是有道理的!

看看一个实例:

例子:饼店卖三种派。 牛肉派卖¥3一个 鸡肉派卖¥4一个 素菜派卖¥2一个

这是过去4天里饼店卖的数目:

现在来想想……星期一的销售额是这样算出来的:

牛肉派的销售额 + 鸡肉派的销售额 + 素菜派的销售额 $3×13 + $4×8 + $2×6 = $83

总销售额是价钱与销售量的点积:

($3, $4, $2) • (13, 8, 6) = ¥3×13 + ¥4×8 + ¥2×6 = ¥83

我们把价钱和销售量相配,把它们逐个相乘,然后把结果 加起来

 

换句话说:

星期一的销售额是:牛肉派:¥3×13=¥39,鸡肉派:¥4×8=¥32,素菜派:¥2×6=¥12。总共是 ¥39 + ¥32 + ¥12 = ¥83 星期二的销售额是:¥3×9 + ¥4×7 + ¥2×4 = ¥63 星期三的销售额是:¥3×7 + ¥4×4 + ¥2×0 = ¥37 星期四的销售额是:¥3×15 + ¥4×6 + ¥2×3 = ¥75

所以重点是要把价钱和销售量正确地相配。

 

明白为什么要用"点积"了吗?

 

用矩阵写出来是这样:

星期一卖了¥83的派,星期二¥63,……

(你可以把这些值打进矩阵计算器来看看。)

行与列

要表达一个矩阵有几行和几列,我们通常写 行×列。

例子:这是个 2×3 矩阵(2行和3列):

把两个矩阵相乘时:

第一个矩阵的列数必须是等于第二个矩阵的行数。 相乘的结果具有第一个矩阵的 行数 和第二个矩阵的 列数。 例子:

在这例子里,我们把 1×3 矩阵乘以 3×4 矩阵(留意两个矩阵都有 3),相乘的结果是个 1×4 矩阵。

一般来说:

m×n矩阵与n×p矩阵相乘,n 必须相同,相乘结果是m×p矩阵。

乘法的次序

在算术里我们知道:

3 × 5 = 5 × 3 (乘法的互换律)

但在矩阵的领域这通常是正常的(矩阵乘法并非可互换):

AB ≠ BA

当乘法的次序改变,答案亦(通常)改变

例子:

来看看次序怎样影响这矩阵相乘:

单位矩阵

"单位矩阵" 是矩阵领域里的 "1":

3x3 单位矩阵

单位矩阵是"方形"的(行与列数目相同), 对角线全是1,其他全是0。 符号为大写字母 I

它是个特别的矩阵,因为把它和一个矩阵相乘,后者不变:

A × I = A

I × A = A

 

  矩阵 矩阵的行列式 矩阵计算器 代数索引


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