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我们通过四种方法讨论如何使矩阵 A 与 B 相乘得到矩阵 C。其中 A 为 m x n（m行 n 列）矩阵，而 B 为 n x p 矩阵，则 C 为 m x p 矩阵，记 cij为矩阵 C 中第 i 行第 j列的元素。

矩阵乘法的标准计算方法是通过矩阵 A 第 i 行的行向量和矩阵 B 第 j 列的列向量点积得到 cij。

列操作是指矩阵 C 的第 j 列是通过矩阵 A 乘以矩阵 B 第 j 列的列向量得到的。这表明矩阵 C 的列向量是矩阵 A 列向量的线性组合，组合的“权”就是矩阵 B 第 j列的各个分量。

行操作是指矩阵 C 的第 i 行是通过矩阵 A 的第 i 行乘以矩阵 B 得到的。这表明矩阵 C 的行向量是矩阵 B 行向量的线性组合。

如果矩阵 A 是方阵，若存在逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1，使得 A − 1 A^{-1} A−1A=I=A A − 1 A^{-1} A−1（左逆矩阵等于右逆矩阵）。我们称矩阵 A 可逆（invertible）或者矩阵 A 非奇异（nonsingular）。 反之，如果 A 为奇异（singular），则其没有逆矩阵。它的行列式为 0。另一个等价的说法是，A 为奇异阵，则方程 Ax=0 存在非零解 x。例如： 不可逆矩阵的列向量可以通过线性组合得到 0。

对于可逆矩阵，求它的逆矩阵是一个重要的问题。 对于上面的二阶矩阵，求逆相当于两组方程： 在用高斯消元法的到上三角矩阵之后，按照若尔当的做法继续消元，用第一行减去第二行的若干倍，最后原矩阵变为单位阵，这时右侧的矩阵即为逆矩阵。 对 A 进行一系列消元操作，相当于左乘消元矩阵 E，此时消元的结果为 EA=I，因为右侧矩阵也进行了同样消元操作，也等于左乘矩阵 E，则右侧矩阵为 EI=E。由EA=I 可知这里的 E 就是 A 的逆矩阵，因此右侧矩阵给出的就是逆矩阵 E= A − 1 A^{-1} A−1