线性代数笔记 2

矩阵的加法可以理解成向量的连续移动。向东走 50 米，再向南走 15 米，再向东走 20 米，这就是三个向量相加，用矩阵来表示就是加法，结果就是你最后停留的点。

比如：

我们可以这样理解：

由此可知：

对于多列的矩阵加法，我们大可以理解成对多个向量同时进行移动。至于减法，则可以转写成加法和负数，然后代表反向移动。

前面说过了标量的问题。任何一个向量都可以视作是对基的伸缩。比如

实际上就是横向伸长三个格子，纵向一个格子，最右边格子右上角的这个位置。也就是横向伸长至三倍，纵向伸长一倍。

矩阵最基本的乘法是和数字相乘。对于向量来说，这个乘法就是对这个向量各维度的同时「伸缩」，乘以不同的数字代表伸缩的程度，大于 1 是伸长，1 代表按兵不动，小于 1 是缩回，0 是回归原点，负数则以原点为中间点反向伸长。

可以在图上画出 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} 以及 2\times \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 3 \\ 2 \times1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix} 来查看感受伸缩。

矩阵的乘法可以理解成把原来 \begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix} 的基换成新的。

比如：

指的是把向量 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} 的基换成 \begin{bmatrix} 3 \ \ 2 \\ 1 \ \ 6 \end{bmatrix}，注意，乘法是从右向左执行，原因后述。

由于基就是单位，所以基的替换就是让原来的坐标转移到新的坐标系里面去。这样的转移不仅包含了终点，而且包含了转移的方向。比如前面提到的：

就是逆时针。而：

则是顺时针。（此处 Essence 用动画展示非常直观。）

这样的转移仅仅是给每维度的单位一个常量倍数，所以可以维持原来的线性关系。也就是说，「基」和「向量」的对应关系不会变。那么，我们就可以用原来的向量各维度分别伸缩至新基各维度的位置，然后相加，就能得到结果。

换句话说，换基的实质，就是分别缩放各个维度，得出原向量的新位置。这也意味着做乘法的时候最好按列来写算式。

如果是2\times 2 的矩阵乘以 2\times 2 的矩阵，又怎么理解呢？对了，那可不就是把两个向量的基都给替换一次么。

也就是说，任意 n \times n 的矩阵，可以与任意 n \times m 且 m >= 1的矩阵相乘，意思是把 m 个向量的基统统换掉。这也意味着两个向量 A 和 B 相乘的时候，A 的列（基的数量）必须与 B 的行（维度数量）相等，这个计算才有意义。然后，我们还可以推论，乘完之后的结果，必然与 B 原来的行列数维持一致。

当然，这只是 A 和 B 行数相等时候的情况。行数相等，意味着输入变量（右边的 B）与新基（左边的 A）的维度是一致的。

还是之前这个二维向量：

还是给它换基，不过这次我们把基搞成一维：

这时候会发生什么呢？这时候原来的二维向量会被「降维」。由于目标空间只有一维，所以原来的横纵轴标量 3 和 1 会被「折叠」到仅剩的一根轴上。这就要求你能想象这种空间的升降维行为。

在这里要提一下空间思维的方法。学习线性数学的首要条件是想象空间的变化、折叠及展开。不过，有个问题需要注意。除非你是天生神力，否则，要思考多个维度中千奇百怪的变化，以及多个维度相互升降，是相当困难而且让人丧失信心的。实际上最好的办法，就是你只想象最基本和简单的情况，而其他复杂的情况，你则「相信」这个算法是可靠的，就行了。

也就是说说，如果我们已经想清楚最基本的降维度方式，并用逻辑推断出计算方法，那么，再遇到类似的情况，就不必再动用空间思维，只是按照总结出的方法来做计算即可。

好，现在来想象一下最简单的，二维折叠成一维。

在脑海中想象两把尺子，铺在平的桌子上，尺子垂直交叠，交点处两把尺子的刻度均为 0，是为原点。想象下面这个向量的位置：

这个向量指向原点右上角 45°，横坐标是 1，纵坐标也是 1。现在，我们把这个点用一根绳子标记一下，绳子从纵尺刻度 1 处伸出，与横尺平行，一头落在(1,1) 处。

下面，我们开始折叠。折叠用的基，仍然选择为最基础的：

我们折叠纵尺（y 轴），因为折叠用的基只有一维，而维度是按照顺序来排列的。

折叠的方式，请想象，现在竖着的这把尺子以原点为中心，朝横着的尺子旋转，直到两把尺子完全重合。这样，我们就完成了折叠。

还记得我们之前标记用的绳子？注意，在折叠的过程中，这个绳子应该始终与横尺保持