KKT条件（卡罗需

KKT是啥？ 它是Karush、Kuhn和Tucker三个人。这三个人单独提出了在非线性规划中获得最优解的必要条件。 看着很复杂呀？ 还好啦。。。只是将拉格朗日乘数法中的等式约束条件泛化到了不等式。

为什么要搞这个看似复杂的东东？当然是为了解决一些问题。下面的问题如果你能解出来，你就可以不用学这个了。

2.1 求 f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 的最小值，约束条件为 x 1 + x 2 = 1 和 x 2 < = α 求f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2的最小值，约束条件为x_1+x_2=1和 x_2=0.5时，f(x_1,x_2)在x_2=0.5处有最小值，为0.5 α>=0.5时，f(x1​,x2​)在x2​=0.5处有最小值，为0.5； 当 α < 0.5 ， f ( x 1 , x 2 ) 在 x 2 = α 处有最小值，为 2 α 2 − 2 α + 1 \alpha = 2 − 4 α \mu>=2-4\alpha μ>=2−4α μ > = 0 \mu>=0 μ>=0 μ ( 1 / 2 − μ / 4 − α ) = 0 \mu(1/2-\mu/4-\alpha)=0 μ(1/2−μ/4−α)=0 1)，当 α > = 1 / 2 时，必须要使 μ = 0 才能满足要求，此时 x 1 = x 2 = 1 / 2 ; \alpha>=1/2时，必须要使\mu=0才能满足要求，此时x_1=x_2=1/2; α>=1/2时，必须要使μ=0才能满足要求，此时x1​=x2​=1/2; 2)，当 α < 1 / 2 时，易得 μ > 0 ，则 μ = 2 − 4 α ，此时 x 1 = 1 − α ， x 2 = α . \alpha0，则\mu=2-4\alpha，此时x_1=1-\alpha，x_2=\alpha. α0，则μ=2−4α，此时x1​=1−α，x2​=α.

perfect，，，两种方法解出来的结果完全一样。

2.2 升级一下问题：求 f ( x 1 , x 2 , x 2 , x 4 ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 的最小值，约束条件为 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 和 x 4 < = A f(x_1,x_2,x_2,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2的最小值，约束条件为x_1+x_2+x_3+x_4=1和x_4 = 1 / 4 时，必须要使 μ = 0 才能满足要求，此时 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1 / 4 ; A>=1/4时，必须要使\mu=0才能满足要求，此时x_1=x_2=x_3=x_4=1/4; A>=1/4时，必须要使μ=0才能满足要求，此时x1​=x2​=x3​=x4​=1/4; 2)，当 α < 1 / 4 时易得 μ > 0 ，则 μ = ( 2 − 8 A ) / 3 ，此时 x 1 = x 2 = x 3 = 1 / 3 − A / 3 ， x 4 = A . \alpha0，则\mu=(2-8A)/3，此时x_1=x_2=x_3=1/3-A/3，x_4=A. α0，则μ=(2−8A)/3，此时x1​=x2​=x3​=1/3−A/3，x4​=A.

假设要求f(x)的最小值，约束条件是g(x)