线性代数常用名词详解1

向量 对于x，y，z是向量，c，d为常数 x+y=y+x x+(y+z)=(x+y)+z x+0=x c(x+y)=(cx)+(cy) c(dy)=(cd)y xy=yx (cx)y=c(xy) x*(y+z)=xy+xz

矩阵 对于矩阵A，B，C，c为常数 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC r(AB)=(rA)B=A(rB)

矩阵转置

阶梯矩阵 1.全为0的行在矩阵的最底层 2.每个leading entry（每行第一个不是0的元素），与上一行相比都在右面，（leading entry也被称为pivot) 3.在每个leading entry下的都是0

最简阶梯矩阵 1.所有的leading entry都是1 2.leading entry所在行除自己是1，其他都是0 举例：

行化简又称高斯消元法 将矩阵化为阶梯矩阵的 举例：

对于一个m*n矩阵A，一个向量x，Ax=0的解被称为A的kernel（记为ker(A)），或是A的null_space（记为Null(A)） 举例：

线性相关 对于两个m*n矩阵A，B,如果A能通过行变换变成B，则A和B线性相关 如果A和B线性相关，Ax=0和Bx=0有相同的解，即ker(A)=ker(B)

对于一个m*n矩阵A，Range（A)={Ax:x is in R} 举例：

线性函数 一个函数L，Rn->Rm（n维空间->m维空间）被称为线性，如果对任意的x,y属于Rn有 L(cx+dy)=cL(x)+dL(y)

子空间 一个n维向量子集V如果满足，对于任意x,y属于V都有cx+dy属于V，则V被称为子空间 1.一个mn矩阵的kernal是n维空间的子空间 2.一个mn矩阵的range是m维空间的子空间 举例：

正交补空间 对于一个子空间V，如果有一个子空间V满足其中所有向量与V中向量相乘都为0，则V被称为V的正交补空间 举例：

对于k个向量v1,v2,v3,……vk，它们的线性组合（linear combination）a1v1+a2v2+a3v3+……+akvk的所有可能被称为这k个向量的span 举例：

对于k个向量v1,v2,v3,……vk，a1v1+a2v2+a3v3+……+akvk=0， a1,a2,a3……,ak没有非零解，则这k个向量称为线性无关，否则称为线性相关（linear dependent） 以下陈述等价：

基 如果对于V中的任意向量，都可以用a1v1+a2v2+……+akvk唯一表示，则称v1,v2,v3,……vk为V的基（basis） 举例：

基中的向量的个数 一个子空间的不同basis的向量个数是相同的

子空间的维度 对于一个子空间V，定义维度（dimension）为基中向量的个数（size of basis），写作dim(V) 举例：

秩 最简行阶梯矩阵中非零行的个数 对于一个m*n矩阵， rank(A)+dim(ker(A))=n rank(A)