Python的灵活运用之

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“Ray Tracing is the Future and Ever Will Be”

英伟达的一位大佬曾经这么说过：「光线追踪是未来，而且将永远是未来。」

光线追踪的原理是非常直观而优雅的，其应用的核心难点在于性能优化。本文将基于光线追踪的基础原理，用 100 行 python 代码实现一个简单的光线追踪渲染器。

基础原理

我们看到的物体，是由来自各个方向发射光、反射光、折射光照亮的。而光线的起点，是各种发光源；光线的终点，则是我们的眼睛。一束光由光源出发，经过不同物体的反射、折射，最终射入观察者的眼睛。

由于在几何光学中，光路具有可逆性。我们从观察者的眼睛射出一道虚拟的光线，它经过的路径将与射入观察者眼睛的那道光路径完全一致，方向相反。此时，如果我们在观察者眼前放置一个像素化的「窗口」，由观察者向每个像素发射一道虚拟光线，最终，这些光线都会「返回」到光源中。结合这些光的路径，和相关的物理模型/经验模型，我们可以计算出这个窗口上每一个像素点的颜色值，从而形成我们在计算机屏幕上看到的图像。

场景布置

为了简化代码，我们尽可能将场景简单化，并使用参数方程描述场景中的物体。

scene = [sphere([.75, .1, 1.], .6, [.8, .3, 0.]), # 球心位置，半径，颜色 sphere([-.3, .01, .2], .3, [.0, .0, .9]), sphere([-2.75, .1, 3.5], .6, [.1, .572, .184]), plane([0., -.5, 0.], [0., 1., 0.])] # 平面上一点的位置，法向量 light_point = np.array([5., 5., -10.]) # 点光源位置 light_color = np.array([1., 1., 1.]) # 点光源的颜色值 ambient = 0.05 # 环境光

我们在场景里放置三个球和一个平面，并放置了一个白色点光源。

在现实世界中，完全黑暗不可见的场景是很少的。即使是在一个暗室中，点亮一枚微弱的蜡烛，在家具等物品的阴影内，也并不是完全黑暗。这些地方是由光源的光经过多次反射后，近似均匀地投射到各个角落的。为了描述这个复杂的物理现象，我们将其简化为一个较小的常数光照——环境光。现阶段的计算机图形学远无法精确地模拟真实的物理世界，在许多时候（特别是对计算实时性要求较高的时候），我们通常会用一个可接受的简化经验模型来替代相对真实的模型。

生成物品 def get_color(obj, P): color = obj['color'] if not hasattr(color, '__len__'): color = color(P) return color def sphere(position, radius, color, reflection=.85, diffuse=1., specular_c=.6, specular_k=50): return dict(type='sphere', position=np.array(position), radius=np.array(radius), color=np.array(color), reflection=reflection, diffuse=diffuse, specular_c=specular_c, specular_k=specular_k) def plane(position, normal, color=np.array([1.,1.,1.]), reflection=0.15, diffuse=.75, specular_c=.3, specular_k=50): return dict(type='plane', position=np.array(position), normal=np.array(normal), color=lambda P: (np.array([1.,1.,1.]) if (int(P[0]*2)%2) == (int(P[2]*2)%2) else (np.array([0.,0.,0.]))), reflection=reflection, diffuse=diffuse, specular_c=specular_c, specular_k=specular_k)

我们用 python 的字典对象来描述球和平面的各种参数：位置、半径、法向量、颜色、镜面反射率、漫反射率、高光参数，等。其中一些参数的意义在后面的小节中再进行解释。

其中，我们用了一个匿名函数为平面生成黑白相间的棋盘格纹理。

基础准备 import numpy as np def normalize(x): return x / np.linalg.norm(x) def get_normal(obj, point): # 获得物体表面某点处的单位法向量 if obj['type'] == 'sphere': return normalize(point - obj['position']) if obj['type'] == 'plane': return obj['normal']

我们定义两个简单的函数 normalize 和 get_normal，分别用于将向量归一化，获取物体表面特定点的单位法向量。球面和平面的法向量获取方式相当简单。此处我们引用了 numpy 这个科学计算的库，对此不熟悉的读者可以参考这里进行安装：NumPy 安装教程。

简单的几何学 def intersect(origin, dir, obj): # 射线与物体的相交测试 if obj['type'] == 'plane': return intersect_plane(origin, dir, obj['position'], obj['normal']) elif obj['type'] == 'sphere': return intersect_sphere(origin, dir, obj['position'], obj['radius'])

接下来是第一个关键点——相交测试。当我们发射光线时，需要检测光线（射线）与物体的第一个交点，并基于交点坐标进行后续的光线反射、折射计算和颜色计算。这里用 if 语句实现伪多态。

射线与平面的交点：

def intersect_plane(origin, dir, point, normal): # 射线与平面的相交测试 dn = np.dot(dir, normal) if np.abs(dn) < 1e-6: # 射线与平面几乎平行 return np.inf # 交点为无穷远处 d = np.dot(point - origin, normal) / dn # 交点与射线原点的距离（相似三角形原理） return d if d>0 else np.inf # 负数表示射线射向平面的反方向

前四行很容易理解，当射线的方向向量与平面法向量垂直时，无交点。为了照顾浮点数，垂直判定为点积的绝对值小于一个小量。

射线与球的交点：

def intersect_sphere(origin, dir, center, radius): # 射线与球的相交测试 OC = center - origin if (np.linalg.norm(OC) < radius) or (np.dot(OC, dir) < 0): return np.inf l = np.linalg.norm(np.dot(OC, dir)) m_square = np.linalg.norm(OC) * np.linalg.norm(OC) - l * l q_square = radius*radius - m_square return (l - np.sqrt(q_square)) if q_square >= 0 else np.inf

球与射线的关系大致可以分为下图中的三种：

前四行代码对应了图中 (B) (C) 两种情况。情况 (A) 可根据勾股定理计算出l-q的长度，即第一个交点和射线原点的距离。

主逻辑代码 w, h = 400, 300 # 屏幕宽高 O = np.array([0., 0.35, -1.]) # 摄像机位置 Q = np.array([0., 0., 0.]) # 摄像机指向 img = np.zeros((h, w, 3)) r = float(w) / h S = (-1., -1. / r + .25, 1., 1. / r + .25) for i, x in enumerate(np.linspace(S[0], S[2], w)): print("%.2f" % (i / float(w) * 100), "%") for j, y in enumerate(np.linspace(S[1], S[3], h)): Q[:2] = (x, y) img[h - j - 1, i, :] = intersect_color(O, normalize(Q - O), 1) plt.imsave('test.png', img)

计算机图形学中，常用「摄像机」指代观察者的眼睛。主逻辑代码很简单，遍历 400x300 大小的屏幕像素，从摄像机位置向每个像素射出一条射线，并根据 intersect_color 函数计算出该点像素的颜色，最终把它们储存为一张图片。

核心代码 def intersect_color(origin, dir, intensity): min_distance = np.inf for i, obj in enumerate(scene): current_distance = intersect(origin, dir, obj) if current_distance < min_distance: min_distance, obj_index = current_distance, i # 记录最近的交点距离和对应的物体 if (min_distance == np.inf) or (intensity < 0.01): return np.array([0., 0., 0.]) obj = scene[obj_index] P = origin + dir * min_distance # 交点坐标 color = get_color(obj, P) N = get_normal(obj, P) # 交点处单位法向量 PL = normalize(light_point - P) PO = normalize(origin - P) c = color return np.clip(c, 0, 1)

intersect_color 函数就是我们实现光线追踪的核心代码了。代码开始，我们对射线和场景中的物体逐一做相交测试，找出距离最近的交点，若不存在，则返回无穷远点。其中 intensity 参数是用于停止光追迭代，后续部分再行解释。

中间一段代码计算了一些以后需要用到的参数，如：与射线相交的第一个物体对象、交点坐标、交点处物体的颜色、交点处物体的单位法向量、交点指向光源的单位向量、交点指向摄像机的单位向量。这些参数在后续的光照模型中会用到。

返回值用了 clip 函数将返回的颜色值钳位在 0 到 1 之间，避免颜色值溢出。

我们首先简单地取物体的颜色作为返回值，最终生成的图片如下。

可以看到我们已经成功在场景中放置了三个物体。这里呈现的是物体自身的颜色，未受任何光照影响。接下来我们修改代码为——环境光作用于物体。

c = ambient * color

呈现效果如下：

此时画面几乎是全黑的，只能隐约看到一些图案，这是因为环境光十分微弱。

兰伯特模型

兰伯特光照模型描述了物体的漫反射特性，其计算方式如下：

由于单位向量的点积等于向量夹角的余弦值，所以该光照模型又被叫做兰伯特余弦定理。上图从光通量的角度解释了兰伯特模型的物理原理。

c += obj['diffuse'] * max(np.dot(N, PL), 0) * color * light_color

将兰伯特漫反射计算的值叠加到 c 上，我们得到：

此时已经基本可以看出是立体的球了。

阴影

神说要有光，就有了光。自此之后光与暗就分隔了。

有了光照，就要有阴影。所谓阴影，就是光不能直接照到的地方。换句话说，在这个地方不能直接看到光源。我们可以从该点向光源发射一条射线，如果通行无阻，那么这个点就可以被光源照到；如果射线「中途」碰到了某个物体（交点距离小于该点与光源的距离），那么这个点就无法被光源直接照到。

由于我们认为环境光充斥于整个空间，所以阴影只作用于漫反射：

c = ambient * color l = [intersect(P + N * .0001, PL, obj_shadow_test) for i, obj_shadow_test in enumerate(scene) if i != obj_index] # 阴影测试 if not (l and min(l) < np.linalg.norm(light_point - P)): c += obj['diffuse'] * max(np.dot(N, PL), 0) * color * light_color

可以看到蓝色和橙色的球已经产生了明显的阴影，阴影处也隐约可见棋盘格纹理。

高光：微表面假设与 Blinn-Phong 模型

现实生活中，物体被光源照亮时，往往会在某些地方形成一个亮斑，也叫高光。高光的形成原因比较复杂，但我们可以用一个简化的模型来阐释。

我们认为，现实中的物体都不是绝对光滑的。看似光滑的一个表面上，分布着许多微小的表面，这些微表面可以近似看作一个个小镜面。微表面的法向量，相对于宏观表面的法向量有一个扰动值，这个扰动值往往服从一定的分布。大体规律是：扰动量越大，概率越低。

如果我们假设有一个理想的镜面平面和一个点光源，我们观察这个平面，会发现平面上只有一个点 K 被光源照亮。因为光的反射严格遵循反射定律。此时如果引入微表面的假设，可以知道，其他点附近的微表面在法向扰动的情况下，也有一定概率将光反射到我们眼中。距离点 K 越近，这个概率就越大。因此，我们可以看到一个中间亮四周逐渐变暗的光斑，而不是一个孤立的光点。这个光斑就是高光。

1975 年，学者 Bui Tuong Phong 提出了用于计算高光的 Phong 模型。

随后不久，Phong 模型被改进为 Blinn-Phong 模型。Blinn-Phong 模型引进了「半角向量」的概念，简化了计算，因此被许多电子游戏所使用。Blinn-Phong 模型是经验模型，并没有严格的物理公式推导，但已经可以较好地模拟真实的高光。

我们将高光项加入代码：

可以看到，此时的真实感已经得到了较大的提升。

光线追踪

光线追踪的核心原理，就是追踪摄像机向每个像素点发射的光线路径，并对每个折射、反射点进行颜色计算。可以用递归的思想来描述这个过程：

// 伪代码 IntersectColor(vBeginPoint, vDirection) { Determine IntersectPoint; Color = ambient color; for each light Color += local shading term; if(surface is reflective) color += reflect Coefficient * IntersectColor(IntersecPoint, Reflect Ray); else if ( surface is refractive) color += refract Coefficient * IntersectColor(IntersecPoint, Refract Ray); return color; }

由于我们暂时只考虑反射，不考虑折射，因此只需要添加两行代码如下：

l = [intersect(P + N * .0001, PL, obj_shadow_test) for i, obj_shadow_test in enumerate(scene) if i != obj_index] # 阴影测试 if not (l and min(l) < np.linalg.norm(light_point - P)): c += obj['diffuse'] * max(np.dot(N, PL), 0) * color * light_color c += obj['specular_c'] * max(np.dot(N, normalize(PL + PO)), 0) ** obj['specular_k'] * light_color reflect_ray = dir - 2 * np.dot(dir, N) * N # 计算反射光线 c += obj['reflection'] * intersect_color(P + N * .0001, reflect_ray, obj['reflection'] * intensity) return np.clip(c, 0, 1)

每次反射，我们都将光线强度乘以反射系数（表征反射光线的衰减），并在函数开始时判断当光线强度弱于 0.01 时结束递归。

if (min_distance == np.inf) or (intensity < 0.01): return np.array([0., 0., 0.])

最终运行效果：

可以看到，物体表面可以反射出其他物体的影像了，甚至在橙色球上还可以观察到多次反射的现象。

最后，我们将几张中间过程的图片放到一起，进行对比。

全部代码如下，算上空行刚好 100 行。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def normalize(x): return x / np.linalg.norm(x) def intersect(origin, dir, obj): # 射线与物体的相交测试 if obj['type'] == 'plane': return intersect_plane(origin, dir, obj['position'], obj['normal']) elif obj['type'] == 'sphere': return intersect_sphere(origin, dir, obj['position'], obj['radius']) def intersect_plane(origin, dir, point, normal): # 射线与平面的相交测试 dn = np.dot(dir, normal) if np.abs(dn) < 1e-6: # 射线与平面几乎平行 return np.inf # 交点为无穷远处 d = np.dot(point - origin, normal) / dn # 交点与射线原点的距离（相似三角形原理） return d if d>0 else np.inf # 负数表示射线射向平面的反方向 def intersect_sphere(origin, dir, center, radius): # 射线与球的相交测试 OC = center - origin if (np.linalg.norm(OC) < radius) or (np.dot(OC, dir) < 0): return np.inf l = np.linalg.norm(np.dot(OC, dir)) m_square = np.linalg.norm(OC) * np.linalg.norm(OC) - l * l q_square = radius*radius - m_square return (l - np.sqrt(q_square)) if q_square >= 0 else np.inf def get_normal(obj, point): # 获得物体表面某点处的单位法向量 if obj['type'] == 'sphere': return normalize(point - obj['position']) if obj['type'] == 'plane': return obj['normal'] def get_color(obj, M): color = obj['color'] if not hasattr(color, '__len__'): color = color(M) return color def sphere(position, radius, color, reflection=.85, diffuse=1., specular_c=.6, specular_k=50): return dict(type='sphere', position=np.array(position), radius=np.array(radius), color=np.array(color), reflection=reflection, diffuse=diffuse, specular_c=specular_c, specular_k=specular_k) def plane(position, normal, color=np.array([1.,1.,1.]), reflection=0.15, diffuse=.75, specular_c=.3, specular_k=50): return dict(type='plane', position=np.array(position), normal=np.array(normal), color=lambda M: (np.array([1.,1.,1.]) if (int(M[0]*2)%2) == (int(M[2]*2)%2) else (np.array([0.,0.,0.]))), reflection=reflection, diffuse=diffuse, specular_c=specular_c, specular_k=specular_k) scene = [sphere([.75, .1, 1.], .6, [.8, .3, 0.]), # 球心位置，半径，颜色 sphere([-.3, .01, .2], .3, [.0, .0, .9]), sphere([-2.75, .1, 3.5], .6, [.1, .572, .184]), plane([0., -.5, 0.], [0., 1., 0.])] # 平面上一点的位置，法向量 light_point = np.array([5., 5., -10.]) # 点光源位置 light_color = np.array([1., 1., 1.]) # 点光源的颜色值 ambient = 0.05 # 环境光 def intersect_color(origin, dir, intensity): min_distance = np.inf for i, obj in enumerate(scene): current_distance = intersect(origin, dir, obj) if current_distance < min_distance: min_distance, obj_index = current_distance, i # 记录最近的交点距离和对应的物体 if (min_distance == np.inf) or (intensity < 0.01): return np.array([0., 0., 0.]) obj = scene[obj_index] P = origin + dir * min_distance # 交点坐标 color = get_color(obj, P) N = get_normal(obj, P) # 交点处单位法向量 PL = normalize(light_point - P) PO = normalize(origin - P) c = ambient * color l = [intersect(P + N * .0001, PL, obj_shadow_test) for i, obj_shadow_test in enumerate(scene) if i != obj_index] # 阴影测试 if not (l and min(l) < np.linalg.norm(light_point - P)): c += obj['diffuse'] * max(np.dot(N, PL), 0) * color * light_color c += obj['specular_c'] * max(np.dot(N, normalize(PL + PO)), 0) ** obj['specular_k'] * light_color reflect_ray = dir - 2 * np.dot(dir, N) * N # 计算反射光线 c += obj['reflection'] * intersect_color(P + N * .0001, reflect_ray, obj['reflection'] * intensity) return np.clip(c, 0, 1) w, h = 400, 300 # 屏幕宽高 O = np.array([0., 0.35, -1.]) # 摄像机位置 Q = np.array([0., 0., 0.]) # 摄像机指向 img = np.zeros((h, w, 3)) r = float(w) / h S = (-1., -1. / r + .25, 1., 1. / r + .25) for i, x in enumerate(np.linspace(S[0], S[2], w)): print("%.2f" % (i / float(w) * 100), "%") for j, y in enumerate(np.linspace(S[1], S[3], h)): Q[:2] = (x, y) img[h - j - 1, i, :] = intersect_color(O, normalize(Q - O), 1) plt.imsave('test.png', img)

为了保存图片，我们用了 matplotlib 库，可以在这里安装：[Installation Guide - Matplotlib 3.4.0 documentation] 。

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