高三数学复习知识点之复数

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，b∈R）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b≠0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

a+bi=c+dia=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0a=b=0.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数]

2°若z₁0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.

④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0

3. 共轭复数的性质：

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4⑴①复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢)

②对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢有

③

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由

就会得到-1=1的错误结论.

②在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

若ω是1的立方虚数根。

5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：

①z∈Rz=z¯.

②若z≠0，z是纯虚数z+z¯=0.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：|z|=|z¯|.

6. ⑴复数的三角形式：z=r(cosθ+isinθ).

辐角主值：θ适合于0≤θ＜2π的值，记作argz.

注：①z为零时，argz可取[0,2π]内任意值.

②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.

③设a∈R﹢则arga=0,arg(-a)=π,argai=π/2,arg(-ai)=3/2π.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：a+bi=r(cosθ+isinθ)，r=√(²+b²)，cosθ=a/r,sinθ=b/r.

⑶几类三角式的标准形式：

r(cosθ-isinθ)=r[cos(-θ)+isin(-θ)]

-r(cosθ+isinθ)=r[cos(π+θ)+isin(π+θ)]

r(-cosθ+isinθ)=r[cos(π-θ)+isin(π-θ)]

r(sinθ+icosθ)=r[cos(π/2-θ)+isin(π/2-θ)]

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)时，应注意下述问题：

①当a,b,c∈R时，若△＞0，则有二不等实数根x₁,₂=(-b±√△)/2a；若△=0，则有二相等实数根x₁,₂=-b/2a；若△＜0，则有二相等复数根x₁,₂=(-b±√|△|i)/2a（x₁,₂为共轭复数）.

②当a,b,c不全为实数时，不能用△方程根的情况.

③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

r₁(cosθ₁ +isinθ₂)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r₂[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)]

[r₁(cosθ₁+isinθ₂)]/[r₂(cosθ₂+isinθ₂)]=r₁/r₂[cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂)]

棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]ⁿ=rⁿ(cosnθ+isinnθ)