因式分解技巧

2023-09-07 03:31| 来源: 网络整理| 查看: 265

《因式分解技巧》，单墫著

先来看几个代数式：$xy$, $x+y$, $x^2y+xy^2$, $xy+yz+xz$, $x^3+y^3+z^3$. 交换这些式子中的任意两个字母，式子不变。我们把这样的式子叫做对称式。

再看几个式子：$x^2y+y^2z+z^2x$, $xyz$, $xy^2+yz^2+zx^2$. 将这些式子中的 $x$ 换成 $y$，将 $y$ 换成 $z$, 将 $z$ 换成 $x$,即将字母做一个轮换，式子保持不变。我们将这样的式子叫做轮换式。

明显地，对称式一定是轮换式，但轮换式未必是对称式。另外，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。

典型方法分解因式：$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$. 我们可以看到这是一个关于 $x$, $y$, $z$ 的轮换式. 不妨把这个式子看作关于 $x$ 的多项式。容易看出 $y$ 是多项式的一个根，于是 $x-y$ 是一个因式。由于是轮换式， $y-z$, $z-x$ 也是它的因式，从而它们的积 $(x-y)(y-z)(z-x)$ 也是因式。原式是三次多项式，这个乘积也是三次的，因此两者最多相差一个常数因数，即

\[x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x). \]

为确定 $k$, 我们来比较两边 $x^y$ 项的系数，易得 $k=-1$. 于是就有分解

\[x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x). \]

分解因式：$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$. 与上例类似可知 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 是它的因式。但原式是四次的，因此我们还缺一个一次因式。原式是轮换的，我们找到的乘积也是轮换的，所以寻求的那个一次因式也应该是轮换。同时根据两者的齐次性（无常数项），可知那个一次因式形如 $k(a+b+c)$。利用之前的比较系数法，或者取特殊值法，可求得 $k=-1$. 即分解为 $$a3(b-c)+b3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$

分解因式：$(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3$. 取 $a=0$, 得原式为 $0$, 于是 $a$ 是一个因式。因为它是轮换式，所以 $abc$ 是它的因式。原式为三次，因此现在只相差一个常数了。不妨设

\[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3=kabc. \]

取 $a=b=c=1$, 得 $k=24$, 于是有

\[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3=24abc. \]

齐次轮换式的一般形式（以三元为例）一次齐次的轮换式形如：$l(x+y+z)$ 二次齐次的轮换式形如：$l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)$ 三次齐次的轮换式形如：$l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+zx^2)+kxyz$

其中的 $l$, $m$, $n$, $k$ 是待定常数.

齐次与非齐次分解因式：$(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ 易知其有因式 $(x-y)(y-z)(z-x)$. 因为原式是五次齐次轮换式，所以还缺一个二次齐次轮换式。不妨设

\[(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5=(x-y)(y-z)(z-x)[l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)]. \]

令 $x=2$, $y=1$, $z=0$ 可得 $5l+2m=15$. 令 $x=1$, $y=0$, $z=-1$ 可得 $2l-m=15$. 于是可得 $l=5$, $m=-5$. 这就给出了所要的因式分解.

分解因式：$a^5-b^5-(a-b)^5$. 记 $y-z=a$, $z-x=c=-b$, 则此题就变为上一例题。最后结果为

\[a^5-b^5-(a-b)^5=5ab(a-b)(a^2+b^2-ab). \]

一个有用的公式分解因式：$a^3+b^3+c^3-3abc$. 当 $a=-(b+c)$ 时，原式为 $0$, 所以原式有因式 $a+b+c$. 再者，原式是三次齐次轮换式，所以我们还缺一个二次齐次轮换式因式。不妨设

\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[l(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)]. \]

比较两边 $a^3$ 的系数可得 $l=1$. 比较 $abc$ 的系数可得 $m=-1$. 于是

\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca]. \]

有时候我们也把它写为

\[a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]. \]

推论

若 $a+b+c=0$, 则 $a^3+b^3+c^3=3abc$.

分解因式：$(y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3$. 利用上面的推论立即可得

\[(y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3=3(y-z)(z-x)(x-y). \]

焉用牛刀分解因式：$x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz$. 它如果能分解，那就有一次因式，而且还是其次轮换式。可以验证一次因式是 $x+y+z$. 不过这里我们没必要用这种方法，因为直接分解更简单一点：

\begin{align*} x^2y+xy^2+xyz &=xy(x+y+z) \\ y^2z+yz^2+xyz&=yz(x=y+z)\\ z^2x+zx^2+xyz &=zx(x+y+z). \end{align*}

所以有

\[x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx). \]

特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每道题都非得用一般的方法去对付不可。

后面两节的内容有点复杂了，实在提不起兴趣。

【本文地址】

公司简介

联系我们